16 复数问题考点例析（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■王 健 复数是每年高考的必考内容,高考主要 考查复数的概念,共轭复数,复数相等的条 件,复数的几何意义,复数的运算以及复数的 模的计算等。 考点一:复数的概念 例1 给出下列四个命题:①满足z= 1 z 的复数有±1,±i;②若a,b∈R且a=b,则 (a-b)+(a+b)i是纯虚数;③复数z∈R的 充要条件是z=z;④在复平面内,实轴上的 点都表示实数,虚轴上的点都表示虚数。其 中正确命题的序号是 。 解:由i2=-1,可知①不正确。当a= b=0时,可知②不正确。由共轭复数的定义 知,③正确。虚轴上的点除原点外都表示纯 虚数,④不正确。答案为③。 评注:解答本题的关键是利用复数z=a +bi(a,b∈R)的形式,确定实部和虚部。 考点二:复数的相等 例2 若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则 2x+y= 。 解:根 据 复 数 相 等 的 充 要 条 件 可 知, x+y=0, x-1=0,{ 解得 x=1, y=-1,{ 所以x+y=0。 故2x+y=20=1。 评注:利用两个复数相等,即a+bi=c+di 列方程时,要注意a,b,c,d∈R的前提条件。 考点三:共轭复数 例3 把复数z 的共轭复数记作z,i为 虚数单位,若z=1+i,则(1+z)·z= 。 解:因为z=1+i,所以z=1-i,所以 (1+z)·z=z+z·z=1-i+2=3-i。 评注:复数a+bi与c+di共轭⇔a=c 且b=-d(a,b,c,d∈R)。 考点四:复数的几何意义 例4 如果复数z满足|z+i|+|z-i|= 2,那么|z+i+1|的最小值是 。 解:利用复数的几何意义,求出点Z 在复 平面内对应的集合,再求|z+i+1|的最小值。 设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的 点分别为Z1,Z2,Z3(图略)。因为|z+i|+ |z-i|=2,又|Z1Z2|=2,所以点Z 的集合 为线段Z1Z2。所求问题转化为动点Z 在线 段Z1Z2 上移动,求|ZZ3|的最小值。因为 |Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1。 评注:在解决有关复数模的问题时,应结 合复数、复数模的几何意义和平面几何知识, 将代数问题几何化,从而达到优化解题的目 的。|z1-z2|表示复平面内对应的两点间的 距离。 考点五:复数的运算 例5 i是虚数单位,复数 5-2i 2+5i= 。 解:(方法1) 5-2i 2+5i= (5-2i)(2-5i) (2+5i)(2-5i)= 10-25i-4i+10i2 29 =-i 。 (方法2) 5-2i 2+5i=- 5i2-2i 2+5i= -i(2+5i) 2+5i =-i。 评注:复数的除法类似于根式的分母有 理化,将分子、分母同乘以分母的共轭复数, 可实现分母实数化。 考点六:复数的模 例6 若复数z满足(1+2i)z=1-i,则 |z|= 。 解:(方法1)因为(1+2i)z=1-i,所以 z= (1-i)(1-2i) (1+2i)(1-2i)= -1-3i 5 =- 1 5- 3 5i , 所以|z|= 1+9 5 = 10 5 。 (方法2)由(1+2i)z=1-i,可得|(1+ 2i)z|=|1-i|,即|1+2i||z|=|1-i|,所以 5|z|= 2,即|z|= 10 5 。 评注:复数z=a+bi(a,b∈R)的模 |z|=|a+bi|= a2+b2。 作者单位:湖北省巴东县第三高级中学 (责任编辑 郭正华) 03 数学部分·经典题突破方法 高一使用 2022年6月