15 复数问题学习盘点（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■任桂英 复数是高中数学的重要内容,也是新高 考的必考内容,高考主要考查复数的概念,复 数的运算以及复数的几何意义。复数具有 “数”和“形”的双重身份,是高中数学知识的 一个重要交汇点。下面就复数问题进行盘 点,以期对同学们的学习有所帮助。 一、复数的概念 理解复数的实部与虚部的含义是解题的 关键,求一个复数的实部或虚部,需将复数化 为z=a+bi(a,b∈R)的形式。 例1 (1)复数 1 -2+i+ 1 1-2i 的虚部等 于 。 (2)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯 虚数,则实数a的值为 。 解:(1)由 复 数 1 -2+i+ 1 1-2i= -2-i (-2+i)(-2-i)+ 1+2i (1-2i)(1+2i)= -2-i 5 + 1+2i 5 =- 1 5+ 1 5i ,可知虚部为1 5 。 (2) 由 纯 虚 数 的 定 义, 可 得 a2-3a+2=0, a-1≠0,{ 解得a=2。 跟踪训练1:(1)若复数z=1+i(i为虚 数单位),z是z 的共轭复数,则z2+z2 的虚 部为( )。 A.0 B.-1 C.1 D.-2 (2)已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+ (5m+6)i,其中m 为实数,i为虚数单位,若 z1-z2=0,则m 的值为 。 提示:(1)因为z=1+i,所以z=1-i,所 以z2+z2=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)= 0。应选A。 (2)由 题 意 得 z1=z2,即 m2-3m+ m2i=4+(5m+6)i。根据两个复数相等的充 要条件得 m2-3m=4, m2=5m+6,{ 解得m=-1。 二、共轭复数 解答这类问题,可根据共轭复数的概念, 求出共轭复数,再根据题目条件进行求解。 例2 (1)设z=-3+2i,则在复平面内 z对应的点位于( )。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)已知a∈R,i是虚数单位。若z= a+ 3i,z·z=4,则a= 。 解:(1)由题意得z=-3-2i,其在复平 面内对应的点为(-3,-2),此点位于第三象 限。应选C。 (2)由题意得z=a- 3i,所以z·z= (a+3i)(a-3i)=a2+3=4,所以a=±1。 跟踪训练2:(多选题)设z1,z2 是复数, 则下列命题中的真命题是( )。 A.若|z1-z2|=0,则z1=z2 B.若z1=z2,则z1=z2 C.若|z1|=|z2|,则z1·z1=z2·z2 D.若|z1|=|z2|,则z21=z22 提示:由|z1-z2|=0,可得z1=z2,即 z1=z2,A是真命题。若z1=z2,则z1 和z2 互为共轭复数,所以z1=z2,B是真命题。设 z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2, b2∈R),若|z1|=|z2|,则 a21+b21 = a22+b22,z1·z1=a21+b21,z2·z2=a22+b22, 所以z1·z1=z2·z2,C是真命题。若z1= 2,z2=1+ 3i,则|z1|=|z2|,这时z21=4, z22=-2+23i,D是假命题。应选A,B,C。 三、复数的模 求解此类问题时,应先将题目中的式子 进行变形,求出复数z的代数形式z=a+bi, 然后求模。 例3 若z=1+2i+i3,则|z|= 。 解:因为z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i, 所以|z|= 12+12= 2。 82 数学部分·经典题突破方法 高一使用 2022年6月 跟踪训练3:设z= 3-i 1+2i ,则|z|= 。 提示:因为z= 3-i 1+2i= (3-i)(1-2i) (1+2i)(1-2i) = 1-7i 5 ,所以|z|= 15( ) 2 + - 7 5( ) 2 = 2。 四、复数的四则运算 解答这类问题的关键是复数的加、减、 乘、除运算法则的熟练应用,这类问题主要考 查分析问题和解决问题的能力,考查运算求 解能力。 例4 计算:(1)(1-i)- 1 2+ 3 2i æ è ç ö ø ÷(1+ i)。(2)(1+i)2020。 解:(1)原 式 = (1-i)(1+i)· - 1 2+ 3 2i æ è ç ö ø ÷ = (1 -i2) - 1 2+ 3 2i æ è ç ö ø ÷ = 2 - 1 2+ 3 2i æ è ç ö ø ÷=-1+ 3i。 (2)原式=[(1+i)2]1010=(1+2i+i2)1010 =(2i)1010=21010·i1010=21010 · (i2)505 = -21010。 跟踪训练4:(1)计算:1+i1-i( )· 1+i 1-i( ) 2 · 1+i 1-i( ) 3 ·…·