14 复数问题考向剖析（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■李俊义 高考对复数的考查主要围绕“基本概念、 复数代数形式的四则运算、复数加减法的几 何意义”等展开,凸显基本运算能力与“等价 转化思想”和“数形结合思想”的具体应用。 考向1:与复数概念有关的判断问题 例1 已知i为虚数单位,现有下面四个 命题:p1:复数z1=a+bi与z2=-a+bi(a, b∈R)在复平面内对应的点关于实轴对称; p2:若复数z 满足 1-i( )z=1+i,则z 为纯 虚数;p3:若复数z1,z2 满足z1z2∈R,则z2= z1;p4:若复数z满足z2+1=0,则z=±i。 其中真命题为( )。 A.p1,p4 B.p2,p4 C.p1,p3 D.p2,p3 解:复数z1=a+bi与z2=-a+bi(a, b∈R)关于虚轴对称,命题p1 不正确。因为 1-i( )z=1+i,所以z= 1+i 1-i=i ,则z为纯虚 数,命题p2 正确。取z1=2,z2=3,则z1z2= 6,满足z1z2∈R,但它们实部不相等,不是共 轭复数,命题p3 不正确。显然命题p4 正确。 应选B。 感悟:解答复数问题时,要依据复数的概 念合理进行转化,不能轻易将实数系中的一 些运算法则或性质照搬到复数系中。 考向2:复数相等的充要条件的沟通作用 例2 定义运算: a c b d = ad-bc , 求符合条件 z 1 1 1 等于复数z 的实部的复 数z所对应点在复平面上的轨迹方程。 解:依据新定义的运算,借助两个复数相 等的充要条件构建实部和虚部的关系求解。 设复数z=x+yix,y∈R( )。由题意结 合新定义运算得 z 1 1 1 = z-1 =x,所以 x-1( )2+y2=x,可得y2=2x-1。故复 数z所对应点在复平面上的轨迹为抛物线, 其方程为y2=2x-1。 感悟:方程的根与轨迹方程的探究问题, 可借助两个复数相等的充要条件求解。 考向3:复数的运算 例3 若i为虚数单位,图1中复平面内 点Z 表 示 复 数z,则 表 示 复 数 z 1+i 的 点 是( )。 图1 A.E B.F C.G D.H 解:由图知点Z 对应的复数z=3+i,则 z 1+i= 3+i 1+i= (3+i)(1-i) (1+i)(1-i)=2-i 。结合图形 知复数 z 1+i 所对应的点是 H。应选D。 感悟:复数的加减法就是合并同类项,乘 法就是多项式的乘法(将i2 换成-1),除法就 是把“分母实数化”。 考向4:复数的几何意义 例4 复数z 满足 z =1,则 z-i max = 。 解:(方法1)依据复数的模的意义,构建 一次函数,利用函数的单调性求解。 设复 数 z=a+bia,b∈R( )。因 为 z =1,所以a2+b2=1,即b2=1-a2,所以 -1≤b≤1。 由z=a+bi得 z-i = a2+b-1( )2 = 1-b2+b2-2b+1= 2-2b,所 以 当 b=-1时,z-i max=2。 (方法2)把握复数所对应点的轨迹,以 62 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2022年6月 形 助 数 简 化 求 解。设 复 数 z =a +bi a,b∈R( )。因为 z =1,所以a2+b2=1, 即复数z对应点的轨迹为单位圆。 z-i 表 示点(0,1)到单位圆上的点的距离,借助圆的 几何性质可得 z-i max=1+1=2。 感悟:复数和复平面上的点构成一一对 应关系,利用复数的几何意义,可以沟通复数 与轨迹之间的关系,为以形助数求解问题提 供了方法和依据。 考向5:实系数一元二次方程根的研究 方法 例5 若z是实系数方程x2+2x+p= 0的一个虚数根,且 z =2,则p= 。 解:设此方程的一个虚数根为z=a+bi, 则它的另一个根为z'=a-bi。 由 z =2,可得 a2+b2=2。由韦达定 理得z+z'=2a=-2,所以a=-1,所以 b2=3,即b=± 3,则z=-1+ 3i,z'=-1 - 3i。所以p=z·z'=(-1+ 3i)(-1- 3i)=4。 感悟:实系数一元二次方程根的情况,可 借助判别式合理分类。当判别式小于0时, 方程的虚数根共轭,且成对出现。 考向6:与复数有关的交汇问题 例6 (1)投掷两颗骰子,得到其向上的 点数分别为m 和n,则复数(m+ni)(n-mi) 为实数的概率为 。 (2)关于x 的方程x2+zx+4+3i=0有 实数根,则复数z 对应的点到原点距离的最 小值为 。 解:(1)因为(m+ni)(n-mi)=2mn+ (n2-m2)i为实数,所以n2=m2。注意投掷 骰子点数的意义,可得m=n,所以m 和n可 取(1,1),(2,2),(3,3),(4