13 平面几何中的向量方法（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■张红岩 孙明花 平面向量可以解决平面几何中的夹角、 垂直、平行、距离等问题,实际上就是用代数 方法解决几何问题。这类问题涉及平面向量 的有关概念、线性运算、坐标运算以及加减法 的几何意义。 类型一:用平面向量解决垂直问题 例1 (1)在△ABC 中,若|AB→+AC→|= |AB→-AC→|,则△ABC 的形状是( )。 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 (2)已知向量a=(2,1),b=(sin(π-α), 2cosα)。 ①若α= 3π 4 ,求证:a⊥b。 ②若向量a,b共线,求 b 的值。 (1)注意向量加减法的几何 意义,利用“见模平方”求解。由 |AB→+AC→|=|AB→-AC→|,可 得|AB→+ AC→|2=|AB→-AC→|2,所以 AB→ 2+2AB→· AC→+ AC→ 2 = AB→ 2 -2AB→ ·AC→ + AC→ 2,即AB→·AC→=0,所以 AB⊥AC,则 △ABC 为直角三角形。应选B。 (2)①当α= 3π 4 时,b=(sin(π-α), 2cosα)= sinα,2cosα( )= 2 2 ,- 2 æ è ç ö ø ÷。 因为a=(2,1),所以a·b=2× 2 2 + 1×(- 2)=0,所以a⊥b。 ②因为向量a,b共线,所以2×2cosα= 1×sin(π-α)=sinα,即sinα=4cosα。 当cosα=0时,可 得sinα=0,这 与 sin2α+cos2α=1矛盾,不合题意;当cosα≠0 时,由sinα=4cosα,可得tanα= sinα cosα=4 。 所 以 b = sin2 π-α( )+4cos2α = sin2α+4cos2α = sin2α+4cos2α sin2α+cos2α = tan2α+4 tan2α+1= 20 17= 2 85 17 。 或者,由方程组 sinα=4cosα, sin2α+cos2α=1,{ 解得 sin2α= 16 17 , cos2α= 1 17 。 ì î í ï ï ï ï 据此可得 b = sin2α+4cos2α = 20 17= 2 85 17 。 体验:利用平面向量解决平行或垂直问 题的两种常用方法:利用已知向量作为基底, 得到向量共线或向量的数量积为0;利用向 量的坐标运算,得到向量共线或向量的数量 积为0。 类型二:用平面向量解决夹角问题 例2 (1)若两个非零向量a,b 满足 a+b = a = b ,则向量b与a-b的夹 角是 。 (2)△ABC 中,若AB=AC=5,BC=6, 点E 满足CE→=215CA →+15CB →,直线CE 与直 线AB 交于点D,则cos∠ADE=( )。 A. 10 10 B. 3 10 10 C.- 10 10 D.- 3 10 10 (1)利用夹角公式和“见模 平方”求解。因为两个非零向量 a,b 满 足 a+b = a = b ,所 以|a+ b|2= a 2=|b|2,即a2+2a·b+b2=a2= b2,所 以2a·b = -b2 = -a2。所 以 a-b = a-b( )2 = a2-2a·b+b2 = 3 a ,所 以 a-b( ) ·b=a·b-b2 = - 3 2b 2=- 3 2a 2。设向量b 与a-b 的夹角 42 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2022年6月 为θ,则cosθ= a-b( )·b a-b · b = - 3 2 a 2 3 a · b =- 3 2 。又θ∈ 0,π[ ],所以θ= 5π 6 。 (2)如图1所示,以B 点为坐标原点,BC 为x 轴,建立平面直角坐标系xBy。 图1 由AB=AC=5,BC=6,可得点 B(0, 0),C(6,0),A(3,4)。 设CD→=xCA→+yCB→。因为A,B,D 三 点共线,所以x>0,y>0,x+y=1。 又因为CE→=215CA →+15CB →,且C,E,D 三点共线,所以 2 15 x= 1 5 y 。 由上联立方程组 2 15 x= 1 5 y , x+y=1, ì î í ï ï ï ï 解得 x= 2 5 ,y= 3 5 ,所以CD→=25CA →+35CB →。 因为CB→=(-6,0),CA→=(-3,4),所以 CD→= -245, 8 5( ),DC →= 245,- 8 5( )。 因为BA→= 3,4( ),所以cos∠ADE= BA→·DC→ BA→ · DC→ = 72 5- 32 5 5× 245( ) 2 + - 8 5( ) 2 = 8 640 = 10 10 。应选A。 体验:利用平面向量解决夹角问题,要熟 练运用向量的夹角