12 复数易错问题聚焦（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■吴祖金 实数扩充到复数后,实数的有些性质、法 则对于复数已不成立,因此,解答复数问题 时,极易出错。下面举例分析,供大家参考。 易错点1:对复数的相关概念理解不清 例1 现有以下四个命题:①两个共轭 复数的差是纯虚数;②若z∈C,则z2≥0; ③若z1,z2∈C,且z1-z2>0,则z1>z2; ④若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2= z3。其中错误命题的序号是 。 错解:错误命题的序号是①②④。 错因:①设z=a+bi,则z-z=2bi,当 b=0时不是纯虚数。②任何一个实数的平 方大于或等于0,但在复数中不成立。③a, b∈R,a-b>0⇔a>b,但不能推广到复数 中。④实数的性质在复数中不成立。 正解:设复数z=a+bi(a,b∈R),则z= a-bi,可得z-z=2bi,当b≠0时,z-z是纯 虚数,当b=0时,z-z=0,①错误。设z=i, 则z2=i2=-1<0,②错误。设z1=3+i, z2=2+i,满足z1-z2=1>0,但z1,z2 不能 比较大小,③错误。设z1=1,z2=i,z3= -1,则(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,但它们并 不相等,④错误。答案是①②③④。 易错点2:对复数的模的定义理解不透 例2 设x(1+i)=1+yi,其中x,y 为 实数,则 x+yi = 。 错解:因为x(1+i)=1+yi,所以x+ xi=1+yi,可 得 x=1,y=x=1,所 以 x+yi=|1+i|=2。 错因:不理解复数的模的定义致错。 正解:因为x(1+i)=1+yi,所以x+ xi=1+yi,x=1,y=x=1,所以|x+yi|= |1+i|= 2。 易错点3:复数相等的条件应用出错 例3 已知x 是实数,y 是纯虚数,且满 足(2x+1)+i=y+(y-1)i,求x 与y 的值。 错解:由 复 数 相 等 的 充 要 条 件 得 2x+1=y, 1=y-1,{ 解得x= 1 2 ,y=2。 错因:上述解法把等式两边看成复数的 代数形式了。 正解:依题意设y=bi(b∈R,b≠0),代 入(2x+1)+i=y+(y-1)i,整理得(2x+ 1)+i=-b+(b-1)i。根据复数相等的充要 条件 得 2x+1=-b, 1=b-1,{ 解 得 x=- 3 2 , b=2,{ 所 以 x=- 3 2 ,y=2i。 易错点4:复数的模与绝对值混淆 例 4 在 复 数 范 围 内 解 不 等 式: z2-4z+3 < z-1 。 错解:由 z2-4z+3 < z-1 ,可 得 z-3 z-1 < z-1 ,所以|z-1|(|z- 3|-1)<0。因为 z-1 ≥0,所以 z-3 < 1,所以-1<z-3<1,即-2<z<4。 错因:实数中绝对值的性质:x <a⇔ -a<x<a(a>0),在复数中不成立。 正解:由 z2-4z+3 < z-1 ,可 得 z-3 z-1 < z-1 ,所以|z-1|(|z- 3|-1)<0。因为 z-1 ≥0,且z≠1,所以 z-3 <1,且z≠1。故此不等式的解集是 以点(3,0)为圆心,1为半径的圆的内部。 已知关于x 的方程x2+(k+2i)x+2+ ki=0有实根,求实数k应满足的条件。 提示:设x=x0 是方程的实根,代入方程 并整理得(x20+kx0+2)+(2x0+k)i=0。由 复数相等的充要条件得 x20+kx0+2=0, 2x0+k=0,{ 解 得 x0=- 2, k=22{ 或 x0= 2, k=-22。{ 故k=±22。 作者单位:湖北省巴东县第一高级中学 (责任编辑 郭正华) 32 数学部分·易错题归类剖析 高一使用 2022年6月