11 向量问题求解中的易错点（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■何 炜 刘大鸣(特级教师) 平面向量融数、形于一体,具有几何与代 数的“双重身份”,它是沟通代数、几何与三角 函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。 下面针对同学们在向量求解过程中的易错 点,探究原因,给出应对的方法和策略,希望 助同学们一臂之力。 易错1:忽视平面向量基本定理的成立 条件 例1 下列各组向量中,可以作为基底 的是 。(只填你认为正确的序号) ①a=(0,0),b=(1,-2);②a=(-1, 2),b=(5,7);③a=(3,5),b=(6,10); ④a=(2,-3),b=(4,-6)。 错解:可以作为基底的是①③④。 正解:上述解法忽视了只有非零且不共 线的向量才可作为平面内的基底。易知可作 为基底的是②。 对策:如果a,b 是同一平面内的两个非 零且不共线向量,那么对该平面内的任一向 量c,有且只有一对实数λ1,λ2,使 得c= λ1a+λ2b。 易错2:混淆两个向量的夹角 例2 在△ABC 中,a=5,b=8,C= 60°,则BC→·CA→的值为 。 错解:由题意得<BC→,CA→>=60°,所以 BC→·CA→=|BC→|·|CA→|cos<BC→,CA→>=5× 8× 1 2=20 。 正解:上述解法混淆了向量BC→与CA→的 夹角的含义。由题意知<BC→,CA→>=120°,所 以BC→·CA→=|BC→|·|CA→|cos<BC→,CA→>= 5×8× - 1 2( )=-20。 对策:两个向量的夹角是指从同一点出 发的这两个向量的正方向所成的较小的非负 角。两个向量夹角的取值范围是 0,π[ ]。 易错3:混淆一个向量在另一个向量方 向上的投影 例3 已知向量a,b 的夹角为45°,且 a =4,12a+b( )· 2a-3b( )=12,则向量 b在a方向上的投影的数量等于 。 错解:向量b 在a 方向上的投影的数量 等于 acos<a,b>=4×cos π 4=22 。 正解:上述解法混淆了一个向量在另一 个向量方向上的投影,结果求的是向量a 在 b方向上的投影。因为 a =4,12a+b( )· 2a-3b( )=12,<a,b>=45°,所以3b 2- 2b -4=0,解得 b = 2或 b =- 22 3 (舍去)。故向量b在a方向上的投影的数量 为 bcos<a,b>= 2×cos π 4=1 。 对策:一个向量在另一个向量方向上的 投影是有序的,它是一个数量,可正,可负,可 为零。 易错4:忽视向量数量积与实数乘法的 区别 例4 已知a,b 都是非零向量,且向量 a+3b与7a-5b 垂直,向量a-4b 与7a- 2b垂直,求向量a与b的夹角。 错 解: 根 据 题 意 可 得 方 程 组 (a+3b)·(7a-5b)=0, (a-4b)(7a-2b)=0,{ 展开化简整理 可 得 7a2+16a·b-15b2=0, 7a-30a·b+8b2=0,{ 两 式 相 减 可 得 46a·b-23b2=0,即b(2a-b)=0,所以 2a-b=0(b=0,不合题意,舍去)。 由2a-b=0知向量a与b同向,故向量 a与b的夹角为0°。 正解:上述解法忽视了向量的数量积与 12 数学部分·易错题归类剖析 高一使用 2022年6月 实数乘法的区别。由b(2a-b)=0,可得 b2=2a·b,由此代入7a2+16a·b-15b2= 0得a2=2a·b,所以a2=b2=2a·b。 故cos<a,b>= a·b |a|·|b|= 1 2|a 2| |a2| = 1 2 , 可得向量a与b的夹角为60°。 对策:向量的数量积运算不满足结合律, 也不满足消去律。对于向量a,b,若a·b= 0,则不一定有a=0或b=0,因为a·b= |a|·|b|cosθ与θ有关,当θ=90°时,a· b=0恒成立,此时a,b均可以不为0。 易错5:误认为a与b的夹角为钝角(锐 角)⇔a·b<0(>0) 例5 已知向量a=(2,1),b=(λ,1), λ∈R,向量a与b的夹角为θ。若θ为锐角, 则λ的取值范围是 。 错解:cosθ= a·b |a|·|b|= 2λ+1 5· λ2+1 。 因为θ 为 锐 角,所 以cosθ>0,所 以 2λ+1 5· λ2+1 >0,解得2λ+1>0,即λ> - 1 2 。故λ的取值范围是 - 1 2 ,+∞( )。 正解:上述解法中没有排除cosθ=1即 向量共线且同向的情况。注意到θ为锐角, 则0<cosθ≠1,所以0< 2λ+1 5· λ2+1 ≠1,解 得λ>- 1 2 且λ≠2。故λ 的取值范围是 λλ>- 1 2 且λ≠2{ }。 对策:向量a,b为非零向量,向量a 与b 的夹角为θ,则<a,b>为锐角⇔a·b>0