08 三个向量恒等式在解题中的应用（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■钱伟密 张启兆 恒等式1:三角形中线的向量表达式 在△ABC 中,若 M 是BC 的中点,则 AM→=12(AB →+AC→)。 例1 已知△ABC,M 是BC 的中点, AB=3,AM=1,求cos∠BAC 的最大值。 解:如图1,设AC=t(t>0)。 图1 因为 M 是BC 的中点,所以AB→+AC→= 2AM→,所 以AB→ 2 +2AB→ ·AC→ +AC→ 2 = 4AM→ 2 ,可 得 |AB→ |2 + 2|AB→ | · |AC→|cos∠BAC+|AC→|2=4|AM→|2,即9+ 6tcos∠BAC+t2=4,所 以cos∠BAC= - 1 6t+ 5 t( )≤- 1 6 ·2 t· 5 t =- 5 3 ,当 且仅当t= 5 t ,即t= 5时,cos∠BAC 取得 最大值为- 5 3 。 评注:利用三角形中线的向量表达式 AB→+AC→=2AM→,得到|AB→|2+2|AB→|· |AC→|cos∠BAC+|AC→|2=4|AM→|2 是解题 的关键。 恒等式2:向量中三点共线的充要条件 如果OP→=mOA→+nOB→,则P,A,B 三 点共线的充要条件为m+n=1。 例2 如图2,在△ABC 中,若D 是BC 上一 点,DC=2BD,∠BAC=60°,AD = 2 13 3 ,AB=3,求BC 的长。 图2 解:因为 B,D,C 三点共线,且 DC= 2BD,所以AD→=23AB →+13AC →,所以AD→ 2 = 4 9AB →2+49×AB →·AC→+19AC →2,即|AD→|2= 4 9|AB →|2+49|AB →||AC→|×cos∠BAC+ 1 9|AC →|2。设 AC=b,则4×139 = 4 9×9+ 4 9×3×b× 1 2+ 1 9×b 2,即b2+6b-16=0, 解得b=-8(舍去)或b=2。 在△ABC 中,由 余 弦 定 理 得 BC2 = AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=32+ 22-12cos60°=7,所以BC= 7。 评注:本题利用向量中三点共线的充要 条件,优化了解题过程,考查了直观想象和逻 辑推理能力。 恒等式3:向量的极化恒等式 4a·b=(a+b)2-(a-b)2 或a·b= 1 4 [(a+b)2-(a-b)2]称为向量的极化恒等 式。极化恒等式的几何意义是:向量的数量 积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边 形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1 4 。 例3 如图3,半径为4的圆O 上有三点 A,B,C,满足OA→+AB→+AC→=0,点P 是圆 O 内一点,则PA→·PO→+PB→·PC→的取值范 围是( )。 (下转第20页) 31 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年6月