07 例析正弦定理、余弦定理在解题中的应用（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■刘小慧 解三角形问题离不开正弦定理、余弦定 理,这两个定理恰似两兄弟,解题紧相随。 一、求三角函数的值 例1 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对 的边 分 别 是a,b,c。已 知 b-c= 1 4a , 2sinB=3sinC,则cosA 的值为 。 解:由2sinB=3sinC 得2b=3c,即b= 3 2c 。据此代入b-c= 1 4a ,可得a=2c。故 cosA= b2+c2-a2 2bc = 9 4c 2+c2-4c2 3c2 =- 1 4 。 题目已知两个条件,不能 具体求出三角形的三边长,可 将a,b分别用c表示,再利用余弦定理求值。 二、求三角形的边长或取值范围 例2 在平面四边形 ABCD 中,∠A= ∠B=∠C=75°,BC=2,则边AB 的取值范 围是 。 图1 解:如图1所示,延长 BA,CD 相交于点E,过点 C 作CF∥AD 交 AB 于 点F,则BF<AB<BE。 在等 腰 三 角 形 CFB 中,∠FCB=30°,CF=BC=2,所以 BF= 6- 2。在等腰三角形ECB 中,∠CEB= 30°,BE =CE,BC =2,由 正 弦 定 理 得 BE sin75°= 2 sin30° ,解得 BE= 6+ 2。由上 可得,6- 2<AB< 6+ 2。 解答本题的关键是构造 三角形ECB。由于点A 不与 E 重合,也不与F 重合,因此等号不成立。 三、判断三角形的形状 例 3 若 △ABC 的 三 个 内 角 满 足 sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC ( )。 A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三 角形 解:由 正 弦 定 理 及 已 知 条 件sinA∶ sinB∶sinC=5∶11∶13,可设a=5x,b= 11x,c=13x(x>0)。 因为cosC= (5x)2+(11x)2-(13x)2 2×5x×11x = - 23 110<0 ,所以C 为钝角,即△ABC 为钝角 三角形。应选C。 判断三角形的形状,主要 有两种途径:利用正、余弦定 理把已知条件转化为边与边的关系,通过因 式分解或配方得到边的相应关系,从而判断 三角形的形状;利用正、余弦定理把已知条件 转化为三角函数关系,通过三角恒等变换,得 出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时 要注意应用A+B+C=π这个结论。 四、求三角形面积的最值 例4 已知a,b,c分别为△ABC 的三个 内角A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sinA -sinB)=(c-b)sinC,则△ABC 面积的最 大值为 。 解:由正弦定理得(2+b)(a-b)=(c- b)c,所以(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+ c2-a2=bc,所以cosA= b2+c2-a2 2bc = 1 2 。 因为 A∈(0,π),所以 A= π 3 。又b2+ c2-a2=bc≥2bc-4,即bc≤4,故S△ABC= 1 2bcsinA≤ 1 2×4× 3 2= 3 (当且仅当b= c=2时,等号成立),即所求△ABC 面积的最 大值为 3。 涉及最值问题时,可利用 基本不等式或表示为三角形 的某一内角的三角函数形式求解。 作者单位:安徽省宣城市工业学校 (责任编辑 郭正华) 21 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年6月