06 概率问题学习导引（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■潘银春 概率是对随机事件发生可能性大小的度 量,概率是高考的必考内容。高考主要考查 随机事件的概率,考查事件的相互独立性以 及概率与频率等。下面举例分析,供大家学 习与提高。 一、互斥事件的概率及其应用 互斥事件与对立事件的概率计算:若事件 A1,A2,…,An 彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪ An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An);设事 件A 的对立事件是􀭿A,则P(A)=1-P(􀭿A)。 求复杂事件的概率常用的两种方法:将所求 事件转化成彼此互斥的事件的和;先求其对 立事 件 的 概 率,再 应 用 公 式P(A)=1- P(􀭿A)求解。 例1 黄种人群中各种血型的人所占的 比例如表1所示。 表1 血型 A B AB O 该血型的人所占比例(%) 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血,O型血可 以输给任一种血型的人,其他不同血型的人 不能互相输血,张三是B型血,若张三因病需 要输血,请问: (1)任找一个人,其血可以输给张三的概 率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给张三的概 率是多少? 解:(1)对任一个人,其血型为A,B,AB, O的事件分别记为 A',B',C',D'。由已知 可得P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')= 0.08,P(D')=0.35。因为B,O型血可以输 给张三,所以“任找一人,其血可以输给张三” 为事件B'∪D'。依据互斥事件概率的加法 公式 得 P(B'∪D')=P(B')+P(D')= 0.29+0.35=0.64。 (2)(方法1)由于A,AB型血不能输给B 型血的人,所以“任找一个人,其血不能输给 张三”为事件A'∪C'。依据互斥事件概率的 加法 公 式 可 得 P(A'∪C')=P(A')+ P(C')=0.28+0.08=0.36。 (方法2)事件“任找一个人,其血可以输 给张三”与事件“任找一个人,其血不能输给 张三”是对立事件,由对立事件的概率公式可 得 P(A'∪C')=1-P(B'∪D')=1- P(B')-P(D')=1-0.64=0.36。 二、事件的相互独立性 利用相互独立事件求复杂事件概率的三 种思路:将待求复杂事件转化为几个彼此互 斥的简单事件的和;将彼此互斥的简单事件 中的简单事件,转化为几个已知(易求)概率 的相互独立事件的积事件;代入概率的积、和 公式求解。 例2 计算机考试分理论考试与实际操 作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不 合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考 试“合格”,并颁发合格证书。甲、乙、丙三人 在理论考试中“合格”的概率依次为4 5 ,3 4 , 2 3 ,在实际操作考试中“合格”的概率依次为 1 2 ,2 3 ,5 6 ,所有考试是否合格相互之间没有 影响。 (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与 实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能 性最大? (2)这三人进行理论与实际操作两项考 试后,求恰有两人获得合格证书的概率。 解:(1)设“甲获得合格证书”为事件A, 01 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年6月 “乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证 书”为 事 件 C,则 P(A)= 4 5× 1 2= 2 5 , P(B)= 3 4× 2 3= 1 2 ,P(C)= 2 3× 5 6= 5 9 。 因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获 得合格证书的可能性大。 (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证 书”为 事 件 D,则 P (D)=P (AB􀭺C)+ P(A􀭺BC)+P(􀭿ABC)= 2 5× 1 2× 4 9+ 2 5× 1 2× 5 9+ 3 5× 1 2× 5 9= 11 30 ,即恰有两人获得 合格证书的概率是 11 30 。 三、频率与概率 频率与概率问题的关注点:依据概率的 定义,可以用事件发生的频率去估计概率;频 率的计算公式为fn(A)= nA n ,其中nA 是事 件A 出现的频数,n为重复试验次数(只要n 相当大,概率是可以通过频率来测量的,或者 说频率是概率的一个近似值)。 例3 为了参加奥运会做准备,某射击 运动员在相同条件下进行射击训练,结果如 表2所示。 表2 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 (1)该射击运动员射击一次,击中靶心的 概率大约是多少? (2)假设该射击运动员射击了300次,则 击中靶心的次数大约是多少? (3)假设该射击运动员射击了10次,前9 次中有8次击中靶心,那么第10次一定击中 靶心吗? 解:(1)