05 事件独立性的理解与应用（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■孙 杰 概率中的事件独立性是一个非常重要的 基本概念。在学习过程中,首先要理解相互 独立的意义,才能理解相互独立的随机事件 之间概率的关系,然后利用这些关系判断两 事件的独立性。下面从三个方面进行阐述。 一、事件独立性概念的理解 事件的相互独立性概念的直观解释:如 果事件A 的发生不会影响事件B 发生的概 率,或者事件B 的发生不会影响事件A 发生 的概率,则事件 A 与B 相互独立。事件 A 与事件B 相互独立的充要条件是P(AB)= P(A)P(B)。在实际应用中,如果事件A 与 事件B 是来自于相同条件下进行的两个随机 试验,则这两个事件是相互独立的。 二、事件独立性的辨析 例1 下列事件 A,B 是相互独立事件 的为( )。 A.一枚硬币掷两次,A 表示“第一次为正 面”,B 表示“第二次为反面” B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地 摸球两次,每次摸一球,A 表示“第一次摸到 白球”,B 表示“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子,A 表示“出现点数为奇 数”,B 表示“出现点数为偶数” D.甲、乙两运动员各射击一次,A 表示 “至少有一人射中目标”,B 表示“甲射中目标 但乙未射中目标” 解:一枚硬币掷两次,A 表示“第一次为 正面”,B 表示“第二次为反面”,则P(A)= P(B)= 1 2 ,P(AB)= 1 4=P (A)P(B),可知 事件A,B 是相互独立事件。袋中有2个白 球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一 球,A 表示“第一次摸到白球”,B 表示“第二 次摸到白球”,事件A 发生时,影响到事件B 发生的概率,所以事件A,B 不是相互独立事 件。掷一枚骰子,A 表示“出现的点数为奇 数”,B 表示“出现的点数为偶数”,则事件A, B 是互斥事件,P(AB)=0≠P(A)P(B),所 以事件A,B 不是相互独立事件。“至少有一 人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未 射中目标”为事件 B,则 AB=B,因 此 当 P(A)≠1时,P(AB)≠P(A)·P(B),所以 A,B 不是相互独立事件。应选A。 点睛:判断独立事件常用的方法:定义 法,若事件A 的发生对事件B 发生的概率没 有影响,反之亦然,则A,B 这两个事件是相 互独立事件;公式法,若两事件 A,B,满足 P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B 相互独 立。独立性的判断不能仅仅停留在直觉判断 上,必须要落实到公式的验证上。 三、相互独立事件概率的计算 例2 甲,乙,丙三人独立地去译一个密 码,译出的概率分别1 5 ,1 3 ,1 4 ,则此密码能被 译出的概率是 。 解:用事件 A,B,C 分别表示甲,乙,丙 三人能译出密码,则P(A)= 1 5 ,P(B)= 1 3 , P(C)= 1 4 。因为三人都不能译出密码的概 率为P(􀭿A􀭺B􀭺C)=P(􀭿A)P(􀭺B)P(􀭺C)= 4 5× 2 3× 3 4= 2 5 ,所以此密码能被译出的概率为 1-P(􀭿A􀭺B􀭺C)=1- 2 5= 3 5 。 点睛:利用相互独立事件解题应注意的 问题:根据题设条件,分析事件间的关系,将 需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积 或若干个事件的乘积之和,这些事件之间必 须满足相互独立。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 郭正华) 9 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年6月