04 聚焦立体几何初步的学习重点（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■赵祖艳 立体几何是研究现实世界中物体的形 状、大小与位置关系的数学分支。下面就空 间几何体的学习重点:空间几何体的表面积 与体积、与球有关的切接问题、空间中直线与 平面的位置关系等,进行举例分析,供大家学 习与参考。 一、空间几何体的表面积与体积问题 空间几何体的表面积与体积的求法:多 面体的表面积是各个面的面积之和;组合体 的表面积要注意衔接部分的处理;旋转体的 表面积要注意其侧面展开图的应用。求复杂 几何体的体积常用割补法、等积法求解。 例 1 如 图 1 所 示,已 知 三 棱 柱 ABC-A'B'C',侧面 B'BCC'的面积是S,点 A'到 侧 面 B'BCC'的 距 离 是a,求 三 棱 柱 ABC-A'B'C'的体积。 图1 解:连接 A'B,A'C,这样就把三棱柱分 割成了两个棱锥。 设所求三棱柱的体积为V,显然三棱锥 A'-ABC的体积是 1 3V ,而四棱锥A'-BCC'B' 的体积为 1 3aS ,所以1 3V+ 1 3aS=V 。据此 可得,三棱柱ABC-A'B'C'的体积V= 1 2aS 。 二、与球有关的切、接问题 与球相关问题的解题策略:作适当的截 面(如轴截面等)时,对于球内接长方体、正方 体,则截面一要过球心,二要过长方体或正方 体的两条体对角线,才有利于解题;对于“内 切”和“外接”问题,先要弄清几何体之间的相 互关系,如特殊的点、线、面之间的关系,然后 把相关的元素放到这些关系中来解决。 例2 设A,B,C,D 是同一个半径为4 的球的球面上的四点,△ABC 为等边三角 形,且其面积为93,则三棱锥D-ABC 体积 的最大值为 。 解:设 等 边 △ABC 的 边 长 为 x,则 1 2x 2sin60°=93,可得x=6。设△ABC 的 外接 圆 半 径 为 R,由 正 弦 定 理 得 2R = 6 sin60° ,解得R=23,所以球心到△ABC 所 在平面的距离d= 42-(23)2=2,所以点 D 到平面ABC 的最大距离为d+4=6,所以 三棱 锥 D-ABC 体 积 的 最 大 值 为 Vmax= 1 3S△ABC×6=183 。 三、空间中的位置关系问题 直线与平面平行的主要判断方法:定义 法;判定定理;面与面平行的性质。平面与平 面平行的主要判断方法:定义法;判定定理; 若a⊥α,a⊥β,则α∥β。判断线线垂直的方 法:平面几何中证明线线垂直的方法;若a⊥ α,b⊂α,则a⊥b;若a⊥α,b∥α,则a⊥b。判 断线面垂直的方法:利用线面垂直的判定定 理;两平行线中的一条与平面垂直,则另一条 也与这个平面垂直;一条直线垂直于两平行 平面中的一个,则与另一个平面也垂直;利用 面面垂直的性质。判断面面垂直的方法:两 个垂直平面相交,所成的二面角是直二面角; 若a⊂α,a⊥β,则α⊥β。 例3 如图2所示,Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直角边AO 所在直线为轴旋转 得到,且二面角B-AO-C 是直二面角,D 是 AB 上任一点。 7 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年6月 图2 求证:平面COD⊥平面AOB。 证明:由题意得CO⊥AO,BO⊥AO,所 以∠BOC 是二面角B-AO-C 的平面角。 因为二面角B-AO-C 是直二面角,所以 ∠BOC=90°,所以CO⊥BO。 因为 AO∩BO=O,所 以 CO⊥平 面 AOB。又CO⊂平面COD,所以平面COD⊥ 平面AOB。 四、空间角的计算问题 求空间各种角的大小一般都转化为平面 角来计算。空间角的计算步骤:一作,二证, 三计算。二面角的平面角的常见作法有三 种:定义法;垂线法;垂面法。求异面直线所 成的角常用平移转化法(转化为相交直线的 夹角);求直线与平面所成的角常用射影转化 法(即作垂线、找射影)。 例4 如图3,正方体ABCD-A'B'C'D' 的棱长为1,B'C∩BC'=O。 图3 (1)求AO 与A'C'所成角的大小。 (2)求平面AOB 与平面AOC 所成角的 大小。 解:(1)因为 A'C'∥AC,所以 AO 与 A'C'所成的角就是∠OAC。 由 AB ⊥ 平 面 BCC'B',OC ⊂ 平 面 BCC'B',可得 OC⊥AB。因 为 OC⊥BO, AB∩BO=B,所以OC⊥平面ABO。 又OA⊂平面ABO,所以OC⊥OA。 在 Rt△AOC 中,OC= 2 2 ,AC= 2, sin∠OAC= OC AC= 1 2 ,所以∠OAC=30°,即 AO 与A'C'所成角的大小为30°。 (2)因 为 OC⊥OA,OC⊥OB,OA∩ OB=O,所以OC⊥平面 AOB。又OC⊂平 面AOC,所以平面AOB⊥平面AOC,即平面 AOB 与平面A