03 立体几何中的转化思想（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■王佩其 解决立体几何问题,贵于转化。转化思 想是解决立体几何问题的“根本大法”。那么 立体几何中的转化思想主要体现在哪些方面 呢? 一、立体图形平面化 将立体几何问题转为平面几何问题来解 决,这种“降维”思想,是解决立体几何问题始 终如一的原则。 例1 如图1,一竖立在地面上的圆锥形 物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面 圆上的点P 出发,绕圆锥爬行一周后回到点 P 处,若该小虫爬行的最短路程为43,则这 个圆锥的体积为 。 图1 图2 解:作出该圆锥的侧面展开图,如图2中 的阴影部分所示,该小虫爬行的最短路程为 线段 PP'。在△PP'O 中,OP=OP'=4, PP'=4 3,由余弦定理得cos∠P'OP= OP2+OP'2-PP'2 2OP·OP' =- 1 2 ,所以∠P'OP= 2π 3 。设圆锥底面圆的半径为r,圆锥的高为 h,则2πr= 2π 3×4 ,可得r= 4 3 ,所以h= l2-r2 = 82 3 ,所 以 该 圆 锥 的 体 积 V= 1 3πr 2h= 1282π 81 。 求空间几何体表面上的 最值问题的一般思路:将空间 几何体的“面”展开后放在一个平面上,把空 间问题转化为平面上的最值问题。 二、几何问题代数化 在立体几何的有关计算问题中,往往可 将变量间的关系转化为方程或函数关系,从 而将几何问题代数化,即将几何问题转化为 代数问题来解决。 例2 某四面体的六条棱中,有五条棱 长都等于a,则该四面体体积的最大值为 。 图3 解:如图3所示, 在四面体 ABCD 中, AB= BC = CD = AC=BD=a。 设 AD =x,取 AD 的中点P,BC 的 中 点 E,连 接 BP, EP,CP。 由题意得 CP⊥AD,BP⊥AD,CP∩ BP=P,所 以 AD⊥ 平 面 BPC。四 面 体 ABCD的体积可看作三棱锥A-BPC 与三棱 锥 D-BPC 的 体 积 之 和,所 以 VABCD = 1 3S△BPC×AD= 1 3× 1 2×a× a 2- x2 4- a2 4× x = 1 12a × (3a2-x2)x2 = 1 12a × - x2- 3a2 2( ) 2 + 9a4 4 ≤ 1 8a 3(当且仅当x2= 3 2a 2,即x= 6 2a 时不等式取等号),即该四 面体体积的最大值为 1 8a 3。 四面体ABCD 体积的大 小取决于AD 的大小,于是可 把AD 看成自变量x,将四面体体积转化为 函数问题,通过求函数的最值可得四面体体 积的最值,这充分体现了函数思想的应用。 作者单位:江苏省太仓市明德高级中学 (责任编辑 郭正华) 6 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年6月