02 利用复数的几何意义解题（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■李 仙 复数的几何意义是指复数z=a+bi(a, b∈R)一一对应复平面内的点Z(a,b)。在 复平面内,复数的实部(a)是其对应点的横坐 标,复数的虚部(b)是其对应点的纵坐标。下 面举例分析复数几何意义的应用。 一、复数与复平面内点的关系 例1 已知复数z= a2-a-6 a+3 + (a2- 2a-15)i(a∈R)对应的点Z 在直线x+y+ 7=0上,求实数a的值。 解:因为点Z 在直线x+y+7=0上,所 以 a2-a-6 a+3 +a 2-2a-15+7=0,即a3+ 2a2-15a-30=0,所以(a+2)(a2-15)=0, 可得a=-2或a=± 15。故当a=-2或 a=± 15时,点Z 在直线x+y+7=0上。 解题指导:利用复数与点的对应关系解 题的步骤:先确定复数的实部与虚部,然后确 定复数对应点的横、纵坐标,再根据已知条 件,确定实部与虚部满足的关系。 二、复数与复平面内向量的对应 例2 在复平面内,点A,B,C 对应的复 数分别为1+4i,-3i,2,O 为复平面的坐标 原点。 (1)求向量OA→+OB→和AC→对应的复数。 (2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应 的复数。 解:(1)由已知得OA→,OB→,OC→对应的复 数分别 为1+4i,-3i,2,则OA→=(1,4), OB→=(0,-3),OC→=(2,0),所以OA→+OB→= (1,1),AC→=OC→-OA→=(1,-4)。 故OA→+OB→对应的复数为1+i,AC→对应 的复数为1-4i。 (2)由已知得OA→=(1,4),OB→=(0,-3), OC→=(2,0),所以BA→=(1,7),BC→=(2,3)。由 平行四边形的性质得BD→=BA→+BC→=(3,10), 所以OD→=OB→+BD→=(3,7),即点 D(3,7)。 故顶点D 对应的复数为3+7i。 解题指导:复数z与向量OZ→是一一对应 关系。一个向量不管怎样平移,它所对应的 复数是不变的,但其起点与终点对应的复数 可能改变。 三、利用复数的几何意义确定平面图形 例3 若复数z=x+yi(x,y∈R,i为虚 数单位)满足|x|+|y|≤1,求z在复平面上 对应图形的面积。 解:复数z=x+yi在复平面上对应的点 图1 为 (x,y),而 满 足 |x|+|y|≤1所表示 的区域如图1所示。 由图可知,复数z 在复平面上对应图形 是边长为 2的正方形 的内部(包括边界),其 面积为 2× 2=2。 解题指导:解答本题的关键是利用复数 与复平面上点的对应关系,画出复数在复平 面上所表示的区域。 四、复数式与长方形的转化 例4 复数z1,z2 满足z1z2≠0,|z1+ z2|=|z1-z2|,证明: z21 z22 <0。 证明:设复数z1,z2 在复平面上对应的 点为Z1,Z2。由|z1+z2|=|z1-z2|可知, 以OZ1→,OZ2→为邻边的平行四边形是矩形,所 以 OZ1→ ⊥ OZ2→。 据 此 可 设 z1z2 = ki k∈R,k≠0( ),所以 z21 z22 =k2·i2=-k2<0。 解题指导:对角线相等的平行四边形是 矩形。以OZ1→,OZ2→为邻边的平行四边形的两 条对角线所对应的复数分别为z1+z2 与 z1-z2,由 z1+z2 = z1-z2 ,说明平行四 边形的对角线相等。 作者单位:安徽省宣城市工业学校 (责任编辑 郭正华) 5 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年6月