01 平面向量及其应用学习指导（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2022年6月刊

■黎 鹏 平面向量是高中数学的重要概念之一, 也是高考的必考点。向量理论具有丰富的物 理背景、深刻的数学内涵。向量既是代数研 究对象,也是几何研究对象,是沟通几何与代 数的桥梁。因此同学们要学好这部分内容。 一、平面向量的线性运算问题 用几个基本向量表示某个向量的常用方 法:观察各个向量的位置;寻找相应的三角形 或多边形;运用法则找关系;化简即得结果。 例1 如图1,在△ABC 中,AD 为BC 边上 的 中 线,E 为 AD 的 中 点,则EB→= ( )。 图1 A. 3 4AB →-14AC → B.14AB →-34AC → C. 3 4AB →+14AC → D.14AB →+34AC → 解:(方法1)在△ABC 中,由向量的运算 法则得EB→=ED→+DB→=12AD →+12CB →= 1 2× 1 2 (AB→ +AC→)+ 12 (AB → -AC→)= 3 4AB →-14AC →。应选A。 (方法2)由向量运算法则得EB→=AB→- AE→=AB→-12AD →=AB→-12× 1 2 (AB→+ AC→)=34AB →-14AC →。应选A。 二、平面向量的数量积运算问题 在向量的数量积运算律中,有三个公式 应用较为广泛,即(a+b)2=a2+2a·b+b2, (a-b)2=a2-2a·b+b2,(a+b)·(a- b)=a2-b2。这三个公式类似于代数中的运 算公式,在解题过程中可以直接应用。 例2 已知 P 是边长为2的正六边形 ABCDEF 内一点,则AP→·AB→的取值范围是 ( )。 A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 解:结合图形(图略)可知,AP→·AB→= |AP→|·|AB→|cos ∠PAB =2|AP→|· cos∠PAB。|AP→|·cos∠PAB 表示AP→在 AB→方向上的投影,当P 与C 重合时投影最 大,当 P 与F 重合时投影最小。又AC→· AB→=23×2×cos30°=6,AF→·AB→=2× 2×cos120°=-2,故当点 P 在正六边形 ABCDEF内部运动时,AP→·AB→∈(-2,6)。 应选A。 三、平面向量的共线问题 平面向量共线问题的四种常用方法:向 量a,b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ,使b= λa;向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线⇔ x1y2-x2y1=0;向量a 与b 共线⇔|a· b|=|a||b|;向量a 与b共线⇔存在不全为 零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0。 例3 设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b平行,则实数λ= 。 解:因为a与b不平行,所以a+2b≠0。 又因为λa+b与a+2b 平行,所以λa+b= t(a+2b),所以 t=λ 2t=1,{ 所以λ=t= 1 2 。 四、平面向量的夹角与垂直问题 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 两向量的夹角为θ(0≤θ≤π),则cosθ= a·b |a||b|= x1x2+y1y2 x21+y21 x22+y22 。向量垂直问 题的常用方法:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+ y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。 例4 (1)已知向量a,b 满足|a|=5, |b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>= 。 3 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2022年6月 (2)设向量a=(1,-1),b=(m+1, 2m-4),若a⊥b,则m= 。 解:(1)由题意得a·(a+b)=a2+a· b=25-6=19,|a+b|= a2+2a·b+b2 = 25-12+36=7,所以cos<a,a+b>= a·(a+b) |a||a+b|= 19 5×7= 19 35 。 (2)因为a⊥b,所以a·b=m+1- (2m-4)=0,所以m=5。 五、向量的模与距离问题 向量的模不仅是研究向量的一个重要的 量,而且是利用向量方法解决几何问题的一 个“交汇点”。在解决向量问题时,需要掌握 向量的模的两种常用计算方法,即几何法和 坐标法。 例5 如图2,正方形 ABCD 的边长为 2,点P 满足AP→=12(AB →+AC→),则|PD→|= ,PB→·PD→= 。 图2 解:(方法1)由题意及向量的平行四边 形法则知,点P 为BC 的中点。在Rt△PCD 中,易得|PD→|= 5。由∠DPC=180°- ∠DPB,可得cos∠DPB=-cos∠DPC= - 1 5 ,所 以 PB→ · PD→ = |PB→ | · |PD→|cos∠DPB=1× 5× -1 5 æ è ç ö ø ÷=-1。 (方法2)以 A 为坐标原点,A