1.1.1 空间向量及其运算-2022-2023学年高二数学上学期同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第一册)

第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 知识梳理 一、空间向量的概念 1．空间向量 （1）空间向量的定义 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． （2）空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||. （3）特殊向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 不同之处：空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形. 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面. 二、空间向量的线性运算 1.空间向量的加法及其运算律 （1）交换律　a＋b＝b＋a； （2）结合律　(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 2.空间向量的减法与数乘运算 空间向量的减法： a-b=a＋(-b) 空间向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算． （1）当λ≠0或a≠0时，λa的模是|λ||a|，且有 ①当λ>0时，λa与向量a方向相同； ②当λ<0时，λa与向量a方向相反； （2）当λ=0或a=0时，λa=0. （3）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律： 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 三、空间向量的数量积 平面内两个非零向量a，b，任意在平面内选定一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角. ①求模公式：|a|＝ ②夹角公式：若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 常见考点 考点一 空间向量的有关概念 典例1．下列说法正确的是（       ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量 D．不相等的两个空间向量的模可能相等 【答案】D 【解析】 【分析】 根据空间向量的定义，从向量的大小和方向两个方面依次判断选项； 【详解】 对A，零向量的相反向量是本身，故A错； 对B，终点构成一个球，故B错； 对C，向量不能比较大小，故C错； 对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确； 故选：D 变式1-1．下列命题为真命题的是（       ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 【答案】D 【解析】 【分析】 由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可. 【详解】 空间中任意两个向量必然共面，A错误； 若，则､的长度相等但方向不确定，B错误； 向量不能比较大小，C错误； 由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确. 故选：D. 变式1-2．在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(       ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断. 【详解】 对于①与，长度相等，方向相反，互为相反向量； 对于②与长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量； 对于③与，易知是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量； 对于④与，易知是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同． 故互为相反向量的是①③，共有2对，n＝2． 故选：B. 变式1-3．在平行六面体中，以顶点为向量的起点或终点，且与向量的模相等的向量有（       ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【解析】 【分析】 由平行六面体定义可确定与棱长度相等的棱，由此可确定结果. 【详解】 由平行六面体定义可知几何体各个面均为平行四边形， ， 则与向量的模相等的向量有，，，，，，，共个. 故选：A. 考点二 空间向量的加减运算 典例2．如图，在空间四边形中，（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用空间向量加减法法则直接运算即可. 【详解】 根据向量的加法、减法法则得. 故选：A. 变式2-1．在平行六面体中，（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量． 【详解】 解：连接，可得，又， 所以． 故选：A