第07讲 三角函数图像与性质-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

第07讲 三角函数图像与性质 【考点梳理】 1、 三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 2、 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 4.三角函数应用 (1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流. (2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数. (3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案. 【解题方法和技巧】 1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式. 2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t(或y＝cos t)的性质. 3.数形结合是本节的重要数学思想. 4.五点法作图及图象变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向； (2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化. 5.由图象确定函数解析式 解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 【考点剖析】 【考点1】正切函数 一、单选题 1．（2021·上海·闵行中学高三期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的单调性以及单调性的性质、函数奇偶性的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A：为奇函数，在定义域上有增有减，不是增函数，故选项A不正确； 对于B：为奇函数，在上单调递增，但在定义域上不是增函数，故选项B不正确； 对于C：既不是奇函数也不是偶函数，故选项C不正确； 对于D：，所以是奇函数，因为和都是上的增函数，所以在定义域上是增函数，故选项D正确； 故选：D. 2．（2021·上海市进才中学高三期中）下列函数中，值域为的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一进行验证，可判断结果. 【详解】对A，函数的值域为； 对B，函数的值域为； 对C，函数的值域为； 对D，函数的值域为 故选：A 3．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，角（）的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过函数与的交点，角，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先函数特征判断函数和互为反函数，所以可判断，再计算，再判断函数值的范围，判断选项. 【详解】因为互为反函数，其交点在上， 又，所以，而，所以， 所以. 故选:D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数和互为反函数，从而确定角的大小. 二、填空题 4．（2022·上海·高三专题练习）若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，，…，都有，若函数在区间上是凸函数，则在△中，的最大值是______. 【答案】 【分析】根据题设凸函数的性质可得即可求最大值，注意等号成立条件. 【详解】由题设知：， ∴，当且