第06讲 任意角三角函数、诱导公式及恒等式-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

第06讲 任意角三角函数、诱导公式及恒等式 【考点梳理】 一、任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线. 二、同角三角函数基本关系式与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α 正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 三、解两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. 3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ). [名师提醒] 1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2.cos2α＝，sin2α＝. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 四、正弦定理和余弦定理 1.正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 五、解三角形的实际应用 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1). 2.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2). 3.方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 【解题方法和技巧】 1.定义法求三角函数值的三种情况 ①已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解； ②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值； ③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 2.三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂． 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次． 3.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． 4.“给值求值”：给出某些角的三角函数式的