第04讲 函数最值与性质-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

第04讲 函数最值与性质 【考点梳理】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 3.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称 4.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【解题方法和技巧】 1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 2.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）考查数形结合思想的应用． 3.新定义的函数问题以及函数的有解问题，涉及到求函数的值域问题. 求函数最值和值域的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 【考点剖析】 【考点1】函数的最值 题型一：利用函数单调性求最值或值域 一、解答题 1．（2022·上海市七宝中学模拟预测）甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过千米时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元. (1)把全程运输成本（元）表示为速度（千米时）的函数； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）首先确定全程运输时间，根据可变成本和固定成本可得解析式； （2）根据对号函数单调性可分类讨论得到结论. (1)由题意知：每小时可变部分的成本为，全程运输时间为时， 全程运输成本. (2)由（1）得：， 由对号函数单调性可知：当时，在上单调递减；则当时，取得最小值； 当时，在上单调递减，在上单调递增；则当时，取得最小值； 综上所述：为了使全称运输成本最小，则当时，应以速度行驶；当时，应以速度行驶. 2．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知函数. (1)设的反函数为，求的最值. (2)函数满足，求证：当时，. 【答案】(1)最大值1，无最小值，(2)证明见解析 【分析】（1）先求出的反函数为，然后得到解析式，再求最值即可； （2）当时，得到和的表达式，然后比较大小. (1). 因为，且，所以当时，有最大值1， 此时；无最小值. (2)证明：. 当时，因为，其中， 又，所以. （另用分析法也可证明.） 3