考向19 三角函数的图象和性质（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向19三角函数的图象和性质 【2022·全国·高考真题】记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（       ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A 【2022·全国·高考真题（理）】设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即． 故选：C． 1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）或，常见方法有： （1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函； （2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角； （3）用两角和、差公式或辅助角公式将已给函数化成同函． 2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述或的形式，有时会化简为二次函数型：或，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意的取值范围． 若将已给函数化简为更高次的函数，如，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有和，令，由关系式得到关于的函数表达式． 3．求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型： （1），令，则； （2），引入辅助角，化为； （3），令，则； （4），令， 则，所以； （5），根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值． 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． （2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中） 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 3．与的图像与性质 （1）最小正周期：． （2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]． （3）最值 假设． ①对于， ②对于， （4）对称轴与对称中心． 假设． ①对于， ②对于， 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置． （5）单调性． 假设． ①对于， ②对于， 1．（2022·上海青浦·二模）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，因为，所以，因为，所以. 正弦函数在一个周期内，要满足上式，则， 所以，所以的取值范围是. 故选：D 2．（2022·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，则， 因为，所以 所以 易知的最小值为. 故选：B 3．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数的图象与直线的两相邻交点间的距离为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正切型函数的性质可知，函数的最小正周期为， 因此，. 故选：B. 4．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数图象的两个相邻最高点间的距离为，则在下列区间中单调递增的区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为图象的两个相邻最高点间的距离为， 所以，解得，. ，解得，. 当，. 故选：A 5．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有（       ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】∵，则 若的最大值为，分两种情况讨论： ①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，解得； ②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以，结合函数与在上的图像可知，存在唯