考向14 导数的概念及应用（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向14导数的概念及应用 【2022·全国·高考真题】曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】     【解析】 【分析】 分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】 解：因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：； 【2022·全国·高考真题】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】 设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】 ∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点： 连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围． 4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上． 1．在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2．过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 一、导数的概念和几何性质 1．概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2．几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3．物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 二、导数的运算 1．求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2．导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3．复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，曲线在点（2，2）处的切线方程为，即． 故选：C. 2．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（       ） A． B．± C． D．± 【答案】C 【解析】因为 所以 当时，，此时， ∴． 故选：C. 3．（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为曲线在M处的切线的倾斜角， 所以对于任意的恒成立， 即对任意恒成立， 即，又，当且仅当， 即时，等号成立，故， 所以a的取值范围是． 故选：D． 4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线在点处的切线方程为，则的值为（       ） A． B． C． D．1