1.2.4 方程与函数的关系(培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接

第1.2章 函数、方程、不等式 1.2.4 方程与函数的关系 初中要求 1体会一次函数与二元一次方程的关系; 2会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解. 高中要求 1 理解方程与函数的关系； 2 理解函数的零点； 3 理解函数的零点存在性定理； 4 会求解二次函数零点分布问题. 1.函数与方程的关系 (1)函数零点的概念 对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点. (2)方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 如 方程的实数根是，函数与轴的交点横坐标是， 函数的零点是，而不是. (3)拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. 解惑 若让你求解?可能知道，那是否只有一个实数根呢？ 而方程的实数根函数与函数的交点横坐标 如图就较容易得到，方程实数根有3个. 2.函数零点存在性定理 ①内容 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. ② 作用 零点定理有什么用呢？举个例子，若问你在内是否存在零点呢？方法1当然可以求出函数在全体实数上的零点，看下是否有零点落在这范围；但用零点存在性定理容易些，因为，所以存在零点. 3.二次函数零点的分布 二次函数零点的分布，以下是常见模型，在经典例题中作出解析. ① 两根与的大小比较(以为例) 分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 大致图像 得出的结论 ② 根在区间上的分布(以为例) 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内， 另一根在内 大致图像 得出的结论 ③ 两根分别在区间外 大致图像 得出的结论 备注 区间 实数集表示为. 【题型一】二次函数零点的分布 情况1 两根与的大小比较 【典题1】已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围. 解析 方法1 (韦达定理) 设是的两个根， 若要满足题意，则，解得. 方法2 当时，若要满足题意，必须；(注意开口方向) 当时，若要满足题意，必须； 即，解得. 点拨 对于一些特殊根的分布问题，我们可灵活采取其他的方法. 【典题2】若关于的二次方程的两个互异的实根都小于，则实数的取值范围是　 　． 解析 关于的二次方程的两个互异的实根都小于， 则 ， (开口向上，有两根，对称轴在左边，确定最大根小于) 即 ，求得， 即的范围为. 点拨 思考下，要确保题意成立，中满足的四项分别属于二次函数的什么性质呢？不要其中一项是否可以，又为什么呢(结合图像)？确定仅满足这四项就行了么？ 情况2 根在区间上的分布 【典题1】已知关于的二次方程若方程有两根，其中一根在区间 内，另一根在区间内，则的范围是　　． 解析 设， 问题转化为抛物线与轴的交点分别在区间和内，则 ，解得，故的范围是. 情况3 两根分别在区间外 【典题1】 已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　． 解析 显然，关于的方程对应的二次函数 (对开口方向进行讨论，分和) ① 若，即图象开口向上， 的两个实根一个小于，另一个大于，只需，且， 即且，则； (若发现结合图像也可知不可能) ② 若，即图象开口向下， 的两个实根一个小于，另一个大于，只需，且， 即且，则 综上可得的范围是． 方法总结 ① 求解二次方程根的分布问题，最重要是数形结合做到“等价转化”；多画图思考：图像要怎么画才能满足题意，怎么画就不满足题意，它们之间的区别在哪里？ ② 画图时注意二次函数四大因素--开口方向，对称轴，判别式，特殊点. 备注：特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与轴的交点)或某些函数值的正负. ③ 对于一些特殊情况，还可以利用韦达定理、因式分解求出根再求解等方法. 变式练习 1.已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围. 答案 . 解析 方法1 当时，若要满足题意，必须；(注意开口方向) 当时，若要满足题意，必须； 即，解得. 方法2 (韦达定理) 设是的两个根， 若要满足题意，则， 解得. 2.已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为　 　． 答案 . 解析 方法1 方程对应的函数为 若要满足题意， 则 故答案是. 方法2 方程 (发现方程可以直接因式分解求根) 方程两根为， 若要满足题意，则，解得， 故答案是. 【题型二】 方程与函数的综合应用 【典题1】当时，方程有实数根么？若有，你试下估其值！ 解析 方程是否有实数根，等价于方程是否有实数根， 设，， 问题就转化为函数与图象在第一象限是否有交点， 如图所示， 所以当时，方程有实数根，设其