1.3.1 相似 (培优讲义)-2022年初升高数学无忧衔接

第1.3章 几何篇 1.3.1 相似 初中要求 1了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 3了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。了解相似三角形判定定理的证明。 4了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方. 高中要求 1 掌握射影定理； 2 三角形内角和外角平分线定理. 1.平行线分线段成比例定理 (1)平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 若，则. (2)变形 (字型) (字型) 其中. 2.相似 (1) 相似三角形的判定方法 ① 两角对应相等，两三角形相似； ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③ 三边对应成比例，两三角形相似； (2) 相似比 ① 相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比； ② 相似三角形的对应边成比例； ③ 相似三角形周长的比等于相似比； ④ 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 3.射影定理 (1) 内容 若， ，则 ① ， ; ② ， ， . (2) 证明方法 可以用相似三角形证明，比如； 也可以用圆的切割线定理证明，是圆的切线，则. (3) 记忆 射影定理简便记忆：从斜边上三点出发均有三条线段，中间的平方最长最短；比如以为端点线段有，最长的是，最短的是，则. 4.三角形内角和外角平分线定理 (1)三角形内角平分定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边. 已知，如图所示，是的内角的平分线，则. (2)三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例. 已知，如图所示，是中的外角的平分线，则. 【题型一】平行线分线段成比例定理 【典题1】如图，在中，，，和相交于点，则 . 【典题2】如图，已知为的边的中点，交于点，则图中阴影部分的面积与面积的比是 . 变式练习 1.如图，分别为边的中点，则的值 . 2.如图，是的中线，分别是的中点，则等于 . 3.如图，四边形的对角线相交于点，，求证：. 【题型二】 射影定理 【典题1】在中，，于点，若，则 ， . 【典题2】如图，在中，，，，，求： (1)的度数； (2)的面积． 变式练习 1.一个直角三角形的一条直角边为，斜边上的高为，则这个直角三角形的面积为(　　) A．7.2 B．6 C．12 D．24 2.已知在梯形中，，，，，，则此梯形的面积为________． 3.已知直角三角形的周长为，一锐角平分线分对边为两部分． (1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长． 4.如图，在中，为边上的高，过作，，，为垂足．求证： (1)； (2). 【题型三】 三角形的内角与外角平分线定理 【典题1】已知，如图所示，是的内角的平分线，求证：. 【典题2】 如图，在中，是角的平分线，，，，求的长. 变式练习 1.已知，如图所示，是中的外角的平分线，求证：. 2.在中，是的平分线，， ，则____. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1.3章 几何篇 1.3.1 相似 初中要求 1了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。 2掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例; 3了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。了解相似三角形判定定理的证明。 4了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方. 高中要求 1 掌握射影定理； 2 三角形内角和外角平分线定理. 1.平行线分线段成比例定理 (1)平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例 若，则. (2)变形 (字型) (字型) 其中. 2.相似 (1) 相似三角形的判定方法 ① 两角对应相等，两三角形相似； ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③ 三边对应成比例，两三角形相似； (2) 相似比 ① 相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比； ② 相似三角形的对应边成比例； ③