第04讲 二次函数与不等式-【初升高暑假衔接】2022年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第04讲：二次函数与不等式 【考点梳理】 考点一、一元二次不等式及其解法 1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式． 2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)． 以二次函数为例： (1) 作出图象. (2)图象与轴的交点是，即当时，． 就是说对应的一元二次方程的两实根是． (3) 当时，，对应图像位于轴的上方． (4) 就是说的解是． 当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数. (2) 观察相应的二次函数的图象． ①如果图象与轴有两个交点， 此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ． 那么(图1)： ②如果图象与轴只有一个交点， 此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图2)： 无解 ③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图3)： 取一切实数 无解 解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解． 考点二、简单分式不等式的解法 说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2) 也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号(比如例(2))： . 考点三、含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式． (1) 当时，不等式的解为：； (2) 当时，不等式的解为：； (3) 当时，不等式化为：； ① 若，则不等式无解；② 若，则不等式的解是全体实数． 【考点梳理】 一、单选题 1．不等式的解集为（        ） A．R B． C． D． 2．若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 3．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 6．已知不等式的解集为，则（       ） A． B． C． D． 7．对任意的，恒成立，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 9．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（       ） A．或 B． C．或 D． 10．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（       ） A．B．C．D． 11．若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 12．关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 13．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 14．若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（       ） A． B． C． D． 15．不等式的解集为，则的解集为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 16．二次函数的部分对应值如下表： 3 4 21 12 5 0 5 则关于x的不等式的解集为__________． 17．关于实数x的不等式的解集是或，则关于x的不等式的解集是________． 18．不等式的解集为___________. 19．若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________． 20．若，则的取值范围为___________. 21．若关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是___________. 22．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围是___________. 三、解答题 23．解不等式： (1) (2) 24．解不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．已知一元二次函数，满足． (1)求的解析式； (2)解关于x的不等式． 26．解关于x的不等式 27．已知关于x的不等式的解集为． (1)写出a和b满足的关系； (2)解关于x的不等式． 28．已知关于的函数． (1)当时，求不等式的解集. (2)当时，求不等式的解集. 29．已知函数． (1)求关于x的不等式的解集； (2)若