第03讲 一元二次方程根与系数的关系-【初升高暑假衔接】2022年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第03讲：一元二次方程根与系数的关系 【考点梳理】 考点一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：. 考点二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： . 所以：， . 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： . 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是． 【专题突破】 一、单选题 1．已知一元二次方程的两根为与，则（       ） A． B． C． D． 2．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数的直是（       ） A． B．3 C．或3 D．或1 3．若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．，且 D．，且 4．已知是一元二次方程的两实根，则代数式的值是（       ） A．7 B．1 C．5 D． 5．关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=（       ） A． B． C．4 D．-4 6．关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 7．已知关于的方程的两根分别是，且满足，则的值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若、是一元二次方程的两个不相等的根，则的值是（       ） A．3 B．15 C．-3 D．-15 9．若，是方程的两个根，且，则的值为. A．或2 B．1或 C． D．1 10．已知正实数满足，为方程的根，则（       ） A． B． C． D． 11．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（       ） A． B． C． D． 12．若一元二次方程的两个根分别为a，b，则的值为（       ） A．-4 B．-2 C．0 D．1 13．在中，a、b、c为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是（       ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 14．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则的值为（       ） A．或 B． C． D． 15．已知，是一元二次方程的两个实根，则的值为（       ） A． B． C． D． 16．关于的一元二次方程的两实数根、，满足，则的值是（       ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 17．若和分别是一元二次方程的两根，则的是_____________. 18．若、是一元二次方程的两个根，则的值为___________. 19．已知，是方程的两个根，则____________. 20．若关于x的方程的两个实数根为，且，则实数m的值为___________. 21．已知关于的方程有两个实数根、，若，则的值为________ 22．已知是方程的两根，且，则的值______． 三、解答题 23．已知关于x的方程． （1）求证：对于任意实数m方程总有实数根； （2）若是原方程的两根，且，求m的值． 24．已知方程的两根为与，求下列各式的值： （1）；（2）． 25．已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2016的值． 26．已知一元二次方程的两根分别是，利用根与系数的关系求下列式子的值： （1）；（2）（3）． 27．已知关于x的方程. （1）若，方程两根分别为，，求和的值； （2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m的取值范围. 28．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 29．已知是一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）若是整数，求使的值为整数的所有的值． 30．已知关于的方程有两个不等实根. （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）设方程的两个实根为，且，求实数的值； （Ⅲ）请写出一个整数的值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明） 试卷第1页，共3页 ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【解析】 【分析】 利用根与系数关系求得的正确结果. 【详解】 依题意一元二次方程的两根为与， 所以， 所以. 故选：B 2．B 【解析】 【分析】 利用韦达定理求