第04讲 平面向量与三角形的“四心”-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第4讲 平面向量与三角形的“四心” 三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。因此，本讲将对与“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要领。 知识点1 三角形的内心 1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P 注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 2、 常见内心的向量表示： （1）（或） 其中分别是的三边的长 （2），则点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） 3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。 拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心． 【解析】证明：、分别表示与、方向相同的单位向量， 的方向与的角平分线方向一致； 又， ； 的方向与的角平分线方向一致， 点的轨迹一定通过的内心． 知识点2 三角形的外心 1、 外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心） 注：外心到三角形各顶点的距离相等. 2、 常用外心的向量表示： （1） （2） 变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心 3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。 知识点3 三角形的“重心” 1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G 注：重心将中线长度分成 2、常见重心的向量表示： 设是的重心，为平面内任意一点. （1） （2），，， （3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. 注：若、、，重心坐标为. 3、破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 知识点4 三角形的“垂心” 1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O 注：高线与对应边垂直 2、常见垂心的向量表示 （1） （2） 知识点5 奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式 是的重心 是的内心 是的外心 是的垂心 备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 问题1：如图，设为的重心，，求的值，并求出三个三角形的面积之比。 分析：根据三角形重心的向量表示，所以，另外根据重心的性质，所以面积相等，即 问题2：如图，设为的垂心，，求的值，并求出三个三角形的面积之比。 分析：（1）根据三角形垂心定义有：由两向量所在的直线垂直，则数量积为零得到： 利用方程思想解出 （2） 若是的垂心，则，即，则 因为 所以， 故 问题3：如图，设为的外心，，求的值，并求出三个三角形的面积之比。 分析：（1）因为三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线交于的一点，所以分别取线段的中点，和问题2一样，利用，，转化为数量积为零，用方程思想求解的值 （2）因为是外心，所以， 所以 而， 所以 问题4：如图，设为的内心，，求的值，并求出三个三角形的面积之比。 分析：（1）三角形的内心是三角形三条内角平分线交于的一点，内心的条件经常和三角形内角平分线定理有关联.（注：） （2）因为是内心，所以三个三角形的高都是三角形内切圆半径，所以面积比就是三角形三边长之比，即 考点一 三角形的内心判断 （一）三角形内心的判断 1、若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（     ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【解析】且，， 化简得，设，又与分别为和方向上的单位向量，平分，又共线，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的内心. 故选：C. 2、在△中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过△的（       ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【解析】表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 故表示起点为，终点在的平分线上的向量， 又，，与共起点，且为同向的向量， 则点也在的角平分线上，故点的轨迹一定经过三角形的内心. 故选：A. 3、如图，是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的　　 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】、分别表示向量、方向上的单位向量， 的方向与的角平分线重合， 又可得到 向量的方向与的角平分线重合， 一定通过的内心 故选：． 4、若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（       ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【解析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即，点在的角平分线上； ，分别表示在边