第03讲 平面向量的数量积及应用-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第3讲 平面向量的数量积及应用 知识点1 平面向量的数量积 求非零向量a，b的数量积的3种方法 直接法 若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算 几何法 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解 坐标法 若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解 2.利用坐标计算数量积的步骤 第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 3．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． (注：已知两个不共线的向量的模长和夹角可以求出两个向量的数量积，也可以求出以这两个向量为基底的另外两个向量的数量积。已知两个向量的数量积，也可以求出其基底的一个基本量：一个模长或者夹角） 4、 如何建立数量积问题与有效方法的对应关系？——“剪刀手”模型 情况一：三个要素都缺失，一问三不知——转基底 总结：将两个未知向量之间的数量积运算转化为两个确定模长和夹角的基底之间的四则运算 情况二：知道一个向量，知道一个手指长——转投影 总结：知道模长的那个向量就是地平线，学会做投影。 情况三：知道指尖连线长——转极化 总结：三角形模型：已知中线长或底边长 情况四：啥都不定可建系——转坐标 总结：建系只是选取了轴作为基底向量，用坐标运算而已 坐标化通过计算可以弥补向量和几何的缺失，但是运算上损失的时间在在考试上也自然会体现出来。 知识点2 向量数量积的应用 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. 注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量. (2)a⊥b⇔a·b＝0. 注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模. (4)，其中是非零向量与的夹角； 注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角. (5)|a·b|≤|a||b|.当且仅当向量共线，即时等号成立 注：可用于解决有关“向量不等式”的问题. 考点一 平面向量的数量积 解题方略： 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 一、求向量的数量积 （一）定义法 【例1】已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝(　　) A．1　　　B.2 C．3 D．4 【解析】由题意可得a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝2××＝3，故选C. 变式1：已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin，则b·(2a－b)等于(　　) A．2 B.－1 C．－6 D．－18 【解析】∵a与b的夹角的余弦值为sin＝－，∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18. 变式2：已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________. 【解析】因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a||b|cos 60°＝2××＝10. 变式3：设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　) A．－　　　B．－ C. D. 【解析】 a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝ 故选D. （二）基底法 【例2】在平行四边形ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝________. 【解析】·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24. 变式1：已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，则（       ） A．12