杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点：两个重要不等式

杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点 两个重要不等式 杨宪伟 榆林市第十中学数学教研组，陕西 榆林 719000； 导数的综合问题一般在高考中都以压轴题的形式出现，题目往往都是以导数为工具讨论函数的单调性、求函数的极值和最值、解决恒成立问题、探究存在性问题、证明不等式等．这些问题是高考的热点和重点，但同时也是学生的难点．这类型问题往往要涉及到y=ex和y=lnx这两个函数，这两个函数使得函数的表达式不仅仅是简单的整式或分式，从而提高了题目的难度，方便高校选拔人才．但这两个函数的导数形式比较简单，这就能为考生解决此类问题提供了信心和可能．此类问题的解决常常得借助几个常见的指数不等式和对数不等式，利用这些不等式可以对导数问题进行转化、分类，对函数值进行定量分析，从而突破难点，找到解题的最佳途径．这种解题的策略和方法在以后的高考中仍然非常重要．本文给出了这几个重要不等式的内容、证明过程和图形表示以及它们在解决高考数学试题中导数综合问题中的应用，仅供师生们在导数专题复习中参考． 关键词： 新课程；高考；导数；压轴题；指数不等式；对数不等式 1 几个重要不等式及其推导过程和图形表示 1．1 三个重要指数不等式 不等式1： (1) 证明：设，则，当时，，当时，，所以，即，当且仅当时取等号，得证． 图形表示：如图1，在处的切线方程为． 图1 不等式2： (2) 证明：设，则，设，则， 当时，，当时，，所以 ，故在上递增，所以即，得证． 图形表示：如图2 图2 不等式3： (3) 证明：设，则，由(2)得：当时，， 故在上递增，所以即，得证． 图形表示：如图3 图3 1．2 两个个重要对数不等式 不等式4： (4) 证明：设，则，当时，，当时，，所以，即，当且仅当时取等号，得证． 图形表示：如图4，在处的切线方程为． 图4 不等式5：