杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点：构造新数列轻松求通项

杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点构造新数列，轻松求通项 高考中数列求通项问题主要是给出递推公式和首项要求考生求出数列通项公式。所谓递推公式实质上就是数列中连续两项之间的关系（）．我们首先从简单的看起，若，那么我们就可以得到数列是以为公差的等差数列，从而可以轻松求出.同样的若已知，我们也可以得到数列是以为公比的等比数列，我们也就可以利用我们非常熟悉的等比数列的知识求出. 类型一(加型):已知,求. 由于,所以数列既不是等比数列也不是等差数列,那么如何构造一个新的数列就成为了解决问题的关键. 一定可以转化为,其中,即,所以数列就是以为首项,以为公比的等比数列,从而可以借助求出.在解题是由于和是已知常数,所以我们可以快速的求出两边所加的常数,构造出新数列解决问题,我们称之为“加型”. 例1: 已知,求. 解: ,两边同时加上2得：，又是以4为首项,以4为公比的等比数列. 即. 类型二(倒数型):已知,求. 我们知道可以拆分为,但是不可拆分,所以可以将倒数后就可拆分.利用上述思想,我们想到不可拆分, 所以我们可以将两边同时取倒数,即得：，因此就是以为首项,以为公差的等差数列,从而可以借助求出.在解题是通过取倒数的方式构造出新数列解决问题的,我们称之为“倒数型”. 例2: 已知,求. 解：考虑倒数型，,两边同时取倒数得：，又是以1为首项,以2为公差的等差数列. 即. 类型三(同除型):已知,求. 由于并非常数，所以用加型并不合适，但我们可以考虑让变为常数，可以两边同时除以，但等式左边是，为方便，我们可以两边同时除以,可得：，因此就是以为首项,以为公差的等差数列,从而可以借助求出.在解题是通过的同除方式构造出新数列解决问题的,我们称之为“同除型”. 例3 设数列的前项和为 已知 （1）设，证明数列是等比数列 （2）求数列的通项公式． 解：（1）由及 由．．．① 　则当时，有．．．② ①－②得 又，是首项，公比为２的等比数列． （2）由（1）可得， 数列是首项为，公差为的等比数列． ， 以上只是我们在解决问题时可能遇到的最基本的三种类型，万事万物都是变化的，我们不可能把所有的类型都列举完。但是相信通过这三种类型，我一定能从中领悟到一些解题的思想。其他类型的问题无非也就是这三种类型的综合或变式，只要我们充分应用我们所领悟到思想就一定可以解决问题。 下面就