杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点：隐零点，放缩，同构

杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点 隐零点、放缩、同构 引例 设函数f(x)＝，若f(x)＝a有两个不同的根x1，x2(x1＜x2)，则x2－的最小值是 ． 典例分析 根据题目背景想到了上半年我市一道模拟题，解题思路与该题的思路相同，我们先分析此题，下给出本题的求解过程。 【2020年榆林市四模，文科，20题】已知函数f(x)＝lnx－ax＋2． (1)求f(x)在(0，1]上的最大值； (2)当a＝1时，证明：对任意x＞0，f(x)－ex＋x＜0恒成立． 解析：(1)∵f(x)＝lnx－ax＋2，∴f(x)＝－a＝， ①当a≤1时，∴f(x)＝≥0在(0，1]上恒成立，∴f(x)在(0，1]上递增，∴f(x)max＝f(1)＝2－a； ②当a＞1时，∴当0＜x＜时，f(x)＞0，当＜x≤1时，f(x)＜0，∴f(x)在(0，)上递增，在(，1]上递减，∴f(x)max＝f()＝1－lna； (2)解法1：由(1)知：当a＝1时，lnx－x＋2≤1，即：lnx≤x－1， 当且仅当x＝1时取等号，∴ln(x＋1)≤x，当且仅当x＝0时取等号， ∴x＋1≤ex，当且仅当x＝0时取等号，∴－ex≤－x－1，当且仅当 x＝0时取等号，∴lnx－ex≤－2，等号不能同时成立， ∴lnx－ex＋2＜0，即：f(x)－ex＋x＜0． 解法2：当a＝1时，令g(x)＝f(x)－ex＋x＝lnx－ex＋2，g(x)＝－ex，g(x)在(0，＋∞)上递减，g(1)＝1－e＜0，g()＝2－＞0，存在唯一的x0∈(，1)使得g(x0)＝0，即：＝e，当0＜x＜x0时，f(x)＞0，当x＞x0时，f(x)＜0，∴g(x)在(0，x0)上递增，在(x0，＋∞)上递减，g(x)≤g(x0)＝lnx0－e＋2＝2－(x0＋)＝－＜0， ∴f(x)－ex＋x＜0． 问题解决 根据上题的解题思路解决前言中的问题时，遇到了一些困难，但最终还是成功解决，过程中用到了新的方法和技巧，值得分享和推广。 设函数f(x)＝，若f(x)＝a有两个不同的根x1，x2(x1＜x2)，则x2－的最小值是 ． 解析： 解法1【切线放缩】：x2－＝ea－＝＝≥＝1，当且仅当a＋lna＝0时取等号，显然存在a∈(0，1)满足条件． 解法2【指对同构】：x2－＝ea－，a∈(0，1)，令