杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点：焦点三角形

杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点椭圆和双曲线的焦点三角形 杨宪伟(榆林市第十中学 719000) 高考解析几何的很多问题都是以焦点三角形为背景的，所以我们需要掌握焦点三角形的一些性质和问题处理策略． 一、椭圆的焦点三角形 以椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)和两焦点F1(－c，0)和F2(c，0)为顶点的三角形；PF1和PF2称为焦半径，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，则： (1)r1＋r2＝2a； (2)r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； (3)r1＝； (4)△F1PF2的周长为2a＋2c，△F1PF2的面积S＝c|y0|＝r1r2sinθ＝b2＝b2tan，当P为短轴顶点时，面积最大，为bc，此时θ最大． 其他结论证明从略，这里只证明性质(2)(3)． 证明 设r1＝a＋d，r2＝a－d，则 (a－d)2＝(x0－c)2＋y①， (a＋d)2＝(x0＋c)2＋y②， ②－①可得： d＝x0＝ex0，故r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0； 在△PF1F2中，由余弦定理可得：(2a－r1)2＝4c2＋r12－4cr1cosα，解得： r1＝． 二、双曲线的焦点三角形 以双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点P(x0，y0)和两焦点F1(－c，0)和F2(c，0)为顶点的三角形；PF1和PF2称为焦半径，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，则： (1)|r1－r2|＝2a； (2)r1＝ex0＋a，r2＝ex0－a； (3)r1＝(同正异负，即焦点位置与点P在y轴同侧时取正，异侧时取负)； (4)△F1PF2的面积S＝c|y0|＝r1r2sinθ＝b2＝b2cot． 证明与椭圆类似，从略． 三、典例分析 例1 【2010年全国，理14题】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 ． 解析 由题意： 4a＝16，…………① e＝＝，………② a2＝b2＋c2，………③ 由①②③可得：a2＝16，b2＝8， 故C的方程为＋＝1． 例2 【2019年全国2卷，文20题】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上一点，