杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点：离心率问题

杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点 离心率问题 杨宪伟(榆林市第十中学 719000) 解析几何中的离心率问题，往往有两种求解思路，一是代数法，利用点的坐标的关系，得到系数的相关关系或求出方程，最终解出离心率；二是几何法，即利用图形变化中不变的几何关系直接求解。代数法思路简单，但对学生的数学运算的核心素养要求较高；几何法对学生直观想象的核心素养要求较高，若能善于发现题目中的几何关系，则可迅速求解，下通过几个典例说明。 例1 设椭圆：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，求椭圆的离心率． 代数法 F(c，0)，A(a，0)，设B(m，n)，则C(－m，－n)，M(，－)， ＝(m－c，n)，＝(，－)，因为F，B，M三点共线，所以 n(a－3m)＝－3n(m－c)，即：a＝3c，故椭圆的离心率e＝＝． 几何法 如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，所以椭圆的离心率e＝＝＝． 例2 已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，M为线段OF的垂直平分线与椭圆C的一个交点，若cos∠MOF＝，则椭圆C的离心率为________． 代数法 由题意F (c，0)，设M(，y0)，将其代入椭圆C的方程可得： ＋＝1①， 设E为线段OF的垂直平分线与x轴的交点，则△MOE为直角三角形，cos∠MOF＝．不妨设＝3，则|OM|＝7，c＝6．由勾股定理可得|ME|＝|y0|＝＝2，即：y＝40②， a2－b2＝36③， 由①②③可得：a4－85a2＋324＝0，解得a2＝81或a2＝4(舍去)，故a＝9，所以椭圆C的离心率e＝＝＝． 几何法 如图，设点A为OF的中点，椭圆的左焦点为F1，连接MF1，MF，cos∠MOF＝，不妨设c＝6，则|OM|＝|MF|＝7，|MA|＝2，|MF1|＝11，所以2a＝18，a＝9，e＝＝． 例3 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过点A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，求C的离心率． 代数法 A(－a，0)，设P(x0，y0)，则： x0＝