杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点：数列与不等式的综合

杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点 数列与不等式 杨宪伟 榆林市第十中学，陕西榆林 719000 例2．【题组1101508118】设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标． (1)求数列{xn}的通项公式； (2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥． 解：(1)y'＝(2n＋2)x2n＋1，∴k＝2n＋2，∴曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线方程为：y－2＝(2n＋2)(x－1)，令y＝0可得：xn＝； 糖水模型来助阵 糖水模型：若b＞a＞0，m＞0，则＞． (2)证明：∵＞，∴Tn＝xx…x＝()2()2…()2≥••••…••＝． 函数角度看数列 (2)证明：令an＝4nTn，∵＝＝＝＞1，∴an＝4nTn ≥a1＝1，∴Tn≥． 中项均值齐上阵 (2)证明：Tn＝xx…x＝(•••…•)2＝(•••…•)2≥(•••…•)2＝． 躲在背后的数列 (2)证明：∵x－＝()2－＝＞0，∴x＞，∴Tn＝xx…x ≥•••…•＝． 胆大心细去放缩 (2)证明：∵x＝()2＝＞＝，∴Tn＝xx…x≥ •••…•＝． 揪出夹缝的数列 (2)证明：Tn＝xx…x＝()2()2…()2，令P＝()2()2…()2，Q＝()2()2…()2，∵P＞Q，∴P2＞PQ＝，即P＞，∴Tn＝()2P≥． 按部就班归纳法 (2)证明：Tn＝xx…x＝(•••…•)2， ①当n＝1时，T1＝，成立； ②假设当n＝k时，Tk≥成立，当n＝k＋1时，Tk+1＝Tk•()2≥•()2＞•＝，∴当n＝k＋1时也成立，∴Tn≥． 变式2．【题组1171910220】设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3，数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn+1＋bn，Sn+2＋bn成等比数列． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝， n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn＜2． 解析：(1)设数列{an}的公差为d，由题意得：a1＋2d＝4， a1＋3d＝3a1＋3d，解得：a1＝0，d＝2．从而an＝2n－2，n∈N*．所以Sn＝n2－n，n∈N*，由Sn＋bn，Sn+1＋bn，Sn+2＋bn成等比数列得：(Sn+1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn+2＋bn)．解得：bn＝(S－SnSn+