杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点：导数中的参数问题

杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点 导数中的参数与零点问题 已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 答案：(1)在上单调递减，在上单调递增；(2)． 解析： (1)当时，，则． 当时，，当时，， 所以在单调递减，在上单调递增； (2) 思路一：不分离，参数分类讨论，严谨找点 解法一(官方答案)：， 若时，，所以在单调递增，故至多存在1个零点，不合题意； 若，由可得．当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故时，取得最小值，最小值为． (i)若，则，在至多存在1个零点，不合题意； (ii)若，则． 由于，所以在存在唯一零点． 由(1)知，当时，，所以当且时， ． 故在存在唯一零点．从而在有两个零点． 综上，的取值范围是． 解法二：， 若时，，所以在单调递增，故至多存在1个零点，不合题意； 若，由可得．当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故时，取得最小值，最小值为． 因为有两个零点，所以，解得：． 此时，，，所以在存在唯一零点． 由(1)知， ，即：，当且仅当时取等号，所以当时，，即：，当时(可取)，，． 故在存在唯一零点．从而在有两个零点． 综上，的取值范围是． 说明：也可证明，由(1)知，，即：，所以，又因为，故． 解法二：， 若时，，所以在单调递增，故至多存在1个零点，不合题意； 若，由可得．当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故时，取得最小值，最小值为． 因为有两个零点，所以，解得：． 此时，，，所以在存在唯一零点． 由(1)知， ，即：，所以，即：，故，即：，，，．故在存在唯一零点．从而在有两个零点． 综上，的取值范围是． 解法三：， 若时，，所以在单调递增，故至多存在1个零点，不合题意； 若，由可得．当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故时，取得最小值，最小值为． 因为有两个零点，所以，解得：． 此时，，，所以在存在唯一零点． 由(1)知， ，即：，所以，即：，，，．故在存在唯一零点．从而在有两个零点． 综上，的取值范围是． 解法四：， 若时，，所以在单调递增，故至多存在1个零点，不合题意； 若，由可得．当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故时，取得最小值，最小值为． 因为有两个零点，所以，解得：． 此时，，，所以在存在唯一零点． 由(1)知，，即：，所以，故，，． 故在存