杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点：极化恒等式在平面向量中的应用

杨宪伟老师高中数学工作室精品资料高考热点难点 极化恒等式在平面向量中的应用 榆林市第十中学 杨宪伟 一、极化恒等式： • ＝[( ＋ )2－( － )2]． 三角形模型：在△ABC中，D为BC的中点： •＝||2－||2＝||2－||2＝||2－||2． 　　　　　 平行四边形模型：在平行四边形ABCD中：•＝(||2－||2)． 二、极化恒等式在解决平面向量问题中的作用 例1．(2017年全国二卷，理12)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•(＋)的最小值是( ) (A)－2 (B)－ (C)－ (D)－1 解法1(坐标法)：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线y轴建立平面直角坐标系，，，， 设，则，，， ∴， 当且仅当，即，取得最小值． 解法2(极化恒等式)：设BC的中点为O，OC的中点为M，连结OP，PM， ∴，当且仅当M与P重合时取等号． 例2．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AB的中点，E，F分别是BC，AC上的动点，且EF＝1，则的最小值为( ) (A) (B) (C) (D) 解法1(坐标法)：以AC所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则，，，设，，则，， ，∴，由柯西不等式可得： ，即，当且仅当，时取等号， ∴，故选(B)． (本题也可用三角换元法解决) 解法2(极化恒等式)：设EF的中点为M，连结CM，则，即点M在如图所示的圆弧上， 则，故选(B)． 例3．(13年浙江，理7)设△ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有•≥•，则( ) (A)∠ABC＝90° (B)AB＝AC (C)∠BAC＝90° (D)AC＝BC 解法1(坐标法)：以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系， 设AB＝4，C(a，b)，P(x，0)，则P0(1，0)，A(－2，0)，B(2，0)，＝(2－x，0)， ＝(a－x，－b)，＝(1，0)，＝(a－1，b)，∵•≥•， ∴(2－x)(a－x)≥a－1恒成立，即：(x－a－1)(x－1)≥0恒成立，∴a－1＝1，即：a＝0， ∴点C在y轴上，∴AC＝BC，故选(D)． 解法2(基底法)：