第11讲 指数与指数函数-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第11讲 指数与指数函数 【学习目标】 1.通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点 【基础知识】 一、根式的定义 1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 ①当n是奇数时， a的n次方根表示为，a∈R； ②当n是偶数时， a的n次方根表示为±，其中－表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)． 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 二、根式的性质 1.()n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n＞1)． 2.＝. 三、分数指数幂 1.a＝，a＝＝(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)． 2.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质 1.aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． 2.(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． 3.(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 五、无理数指数幂 1.对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． 2.定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 六、实数指数幂的运算性质 1.aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． 2.(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． 3.(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 七、条件求值 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值． 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(其中a>0，b>0)： 八、指数函数的定义图象及性质 1.函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.指数函数的图象和性质 【解读】 1.由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象． 2.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴． 九、识别指数函数图象问题的注意点 1.根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1； 2．在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小； 3．根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置． 4.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)． 十、函数图象的对称和变换规律 一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位)． 函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象． 【考点剖析】 考点一：根式的化简 例1．化简（       ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】，故选D． 考点二：利用指数幂的运算性质化简 例2．（2021-2022学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中）化简结果为（       ） A．a B．b C． D． 【答案】A 【解析】根据实数指数幂的运算公式，可得： .故选A. 考点三：条件求值 例3．（1）已知是方程的两个根，且，求的值． （2）已知，求下列各式的值： ①； ②． 【解析】（1）因为是方程的两个根，所以， 所以． 因为，所以． 所以． （2）①将两边平方，得． 即． ②将两边平方，得， 即． 考点四：指数函数的图象 例4．（2021-2022学年浙江省杭州