第08讲 函数的概念及其表示-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第08讲 函数的概念及其表示 【学习目标】 1. 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法，列表法，解析法）表示函数，理解函数图象的作用 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 【基础知识】 一、函数的概念 1.函数的定义 设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任何一个 x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一的y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作. 2.函数的定义域与值域 函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集。 3.对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示对应关系的方法，引进符号统一表示对应关系． 【解读】当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样． 二、区间概念(a，b为实数，且a<b) 【解读】应用区间时的3个注意点 1.区间是数集，区间的左端点小于右端点． 2.在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． 3.用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． 三、判断对应关系是否为函数的2个条件 1.A、B必须是非空数集． 2.A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 四、根据图形判断对应是否为函数的方法 1.任取一条垂直于x轴的直线l. 2.在定义域内平行移动直线l. 3.若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 五、求函数定义域的几种类型 1.若f(x)是整式，则函数的定义域是R. 2.若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． 3.若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． 4.若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． 5.若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 6.已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f[g(x)]的定义域． 7.已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域：若f[g(x)]的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域． 六、函数的三要素 1.由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域 2.相同函数 值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和对应关系相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们不是相同的函数． 3.判断两个函数为同一函数的方法 判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 七、函数求值的方法 1.已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． 2.求f[g(a)]的值应遵循由里往外的原则． 3.求函数值域常用的4种方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； ②配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； ③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； ④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法． 八、理解函数的表示法的3个关注点 1.列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． 2.判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义． 3.函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 九、求函数解析式的3种常用方法 1.待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．如典例3(1)． 2.换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)