第12讲 对数与对数函数-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第12讲 对数与对数函数 【学习目标】 1. 理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2.通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性和特殊点 3.知道对数函数 与指数函数互为反函数 【基础知识】 一、对数的概念 1.对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数， N叫做真数． 2.两种特殊的对数 ①常用对数：通常以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为lg_N； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记为lnN(其中e＝2.71828…)． 二、对数与指数的关系 1.对数的基本性质 ①零和负数没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． 2.两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 三、对数运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 四、换底公式 1.对数的换底公式： logab＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)． 2.三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． 五、对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的性质 1.定义域： (0，＋∞)． 2.值域： (－∞，＋∞)． 3.定点： (1,0)． 4.单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是增函数；0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数． 5.函数值变化 当a>1，x>1时，y∈ (0，＋∞)，0<x<1时，y∈ (－∞，0)； 当0<a<1，x>1时，y∈ (－∞，0)，0<x<1时，y∈(0，＋∞)． 六、函数的概念 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域． 【考点剖析】 考点一：指数式与对数式的互化 例1．已知，则（       ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以.故选D 考点二：利用对数恒等式求值 例2．（2021-2022学年湖南省衡阳市衡南县高一上学期期末）下列各式，，分别等于（       ） A．2，5， B．2，5，35 C．2，3， D．4，3， 【答案】B 【解析】，，，故选B. 考点三：对数运算性质的应用 例3．（2021-2022学年山西省长治市第四中学校高一上学期期末）计算：（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】 ；故选B 考点四：换底公式的应用 例4．（2021-2022学年安徽省安庆市高一上学期期末）已知，，用，表示，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，故选D． 考点五：求对数型函数的定义域与值域 例5.（2021-2022学年河南省扶沟县二高高一上学期考试）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，解得故选D 考点六：求对数型函数的单调区间 例6．（2021-2022学年河北省唐县第一中学高一下学期5月月考）设函数，则的单调递增区间为_________． 【答案】 【解析】记，因为为减函数，所以当单调递增时，单调递减， 由得或，又当时，单调递减.故．故答案为. 考点七：利用对数函数的单调性比较大小 例7．（2021-2022学年新疆喀什地区疏附县高一上学期期末）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，因为，所以， 因为，即，所以.故选C 考点八：利用对数函数的单调性求参数范围 例8．（2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期期末）已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是上的增函数，所以，解得 ， 所以实数的取值范围是，故选A. 考点九：对数型函数的奇偶性 例9．（2021-2022学年广东省珠海市斗门第一中学高一上学期12月月考）已知函数，. (1)证明：为偶函数；