专题09 导数新定义问题-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题09 导数新定义问题 一、单选题 1．给出以下新定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（       ） A． B． C． D． 【解析】对于A选项，，则，不是凸函数； 对于B选项，，则，不是凸函数； 对于C选项，，则在R上不恒成立，不是凸函数； 对于D选项，，则，在定义域上恒成立，是凸函数. 故选：D. 2．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（       ） A．0 B．1 C． D． 【解析】依题意得，，，令，解得x＝1， ∵，∴函数的对称中心为，则， ∵，∴． 故选：A. 3．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则（       ） A．0 B． C．1 D．2 【解析】，故选：D 4．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意：， 所以分别为的根，即为函数 的零点，可解得； 为单调递增函数，且，所以， 令，解得，或， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，由，，， ，所以，所以.故选：B. 5．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中没有“巧值点”的函数是（       ） A． B． C． D． 【解析】对于A选项，，由可得，解得或， 所以，函数有“巧值点”； 对于B选项，，由可得，其中， 令，其中，则，， 由零点存在定理可知，函数在区间上有零点， 所以，函数有“巧值点”； 对于C选项，，由可得，这与矛盾， 所以，函数没有“巧值点”； 对于D选项，，因为，所以，函数有“巧值点”. 故选：C. 6．定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（       ） A． B． C． D． 【解析】对于A选项，，则，由， 即，，因此，存在“自足点”，A满足条件； 对于B选项，，则，由， 可得，其中，令，则，， 所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件； 对于C选项，，则，其中， 因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件； 对于D选项，，则， 由，可得， 因为，， 所以，， 所以，方程无实解，D选项不满足条件.故选：D. 7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（       ） A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】函数，则， 由，得，即，解得， 所以在，上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B. 8．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“阶比增函数”．若函数为“阶比增函数"，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解析】因为函数为“阶比增函数”， 所以函数在上为增函数，所以令， 故在上恒成立， 所以在上恒成立，由于， 所以.故实数的取值范围是。故选：A 二、多选题 9．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，没有“巧值点”的是（       ） A． B． C． D． 【解析】对于A，由得， 即，，∴该方程无解， ∴函数无“巧值点”，故A符合题意； 对于B，由得，解得， ∴函数有“巧值点”－1，故B不符合题意； 对于C，由得无解，∴函数无“巧值点”，故C符合题意； 对于D，由得，易知函数与的图象在第一象限内有一个交点， ∴方程有一个解，∴函数有“巧值点”，故D不符合题意． 故选：AC． 10．函数在区间，上连续，对，上任意二点与，有时，我们称函数在，上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足在定义域内恒成立． 对于A，，则在时恒成立， 不符合题意，故选项A错误； 对于B，，则恒成立，符合题意，故选项B正确； 对于C，，则在时恒成立， 符合题意，故选项C正确； 对于D，，则在时恒成立，不符合题意，故选项D