专题08 利用导数解决实际问题-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题08 利用导数解决实际问题 专项突破一 利润问题 一、单选题 1．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（       ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 【解析】依题意，且， ， 所以函数在，函数递增；在，函数递减. 所以当万元时，函数取得最大值. 故选：B 二、多选题 2．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（       ） A．年产量为9000件 B．年产量为10000件 C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元 【解析】设年利润为W.当时，， .令，得（舍负），且当时， ；当时，； 所以当时，年利润W取得最大值38.6； 当时，，. 令，得（舍负），所以当时，年利润W取得最大值38. 因为，所以当年产量为9000件时， 该公司在这一品牌服装的生产中，所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元.故选：AD. 三、填空题 3．某一学习兴趣小组对学校超市某种商品的销售情况进行了调研，通过大量的数据解析，发现该商品每日的销售量（百件）与销售价格（元/件）满足，现已知该商品的成本价为2元/件，则当时，超市每日销售该商品所获得的最大利润为__________元. 【解析】设超市每日销售该商品所获得的最大利润为 . 则， 故 ，当时;当时， 故在单调递增,在单调递减; 故当时, 取得最大值， 故超市每日销售该商品所获得的最大利润为500元. 四、解答题 4．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克. （1）求函数的解析式； （2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大. 【解析】（1）有题意可知，当时，，即，解得， 所以. （2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ，令，得或（舍去）， 所以当时，为增函数； 当时，为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 即时函数取得最大值. 所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大. 5．为了提高某产品的销量，公司计划对该产品投入适当的宣传费用．经调查测算，该产品的销售量y（单位：万件）与宣传费用（单位：万元）满足函数关系式，已知每件产品的利润为（单位：元）． (1)求该产品的总利z（单位：万元）关于x的函数． (2)求投入宣传费用多少万元时，该产品的总利润最大？最大利润是多少？ 【解析】(1)由题可知， ． (2)， 因为，所以，则在上单调递减， 故． 当投入的宣传费用为3万元时，该产品的总利润最大，且最大利润为11.5万元． 6．某工厂共有10台机器共同生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定数量的次品.根据经验知道，每台机器生产的次品数（万件）与每台机器的日产量（万件）之间满足关系：，已知每生产1万件合格的元件可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元. (1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润（万元）表示为关于（万件）的函数（利润盈利亏损）； (2)当每台机器的日产量（万件）为多少时，获得的利润最大，最大利润为多少? 【解析】(1)由题意，所获得的利润为 (2)由（1），所以， 令，得到或（舍去）； 所以当，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减； 所以当时，函数取极大值，即最大值， 所以当时利润最大，为（万元）， 当每台机器的日产量为6（万件）时所获得的利润最大，最大利润为万元． 7．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是8万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加0.5万元.种植万千克莲藕的销售额(单位：万元)是(是常数)，若种植2万千克莲藕，利润是1.5万元，求： (1)种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为的解析式； (2)要使利润最大，每年需种植多少万千克莲藕，并求出利润的最大值. 【解析】(1)种植万千克莲藕的利润(单位：万元)为： ，， 即，， 当时，，解得， 故，； (2)， 当时，，当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴时，利润最大为万元. 8．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30