专题07 函数单调性、极值、最值综合运用-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题07 函数单调性、极值、最值综合运用 一、单选题 1．设函数，若函数无最小值，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由得， 令,得，令，得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极小值，为， 因为无最小值，所以，解得.故选：A 2．已知函数，则（       ） A．函数在上单调递增 B．函数在上有两个零点 C．函数有极大值16 D．函数有最小值 【解析】，由，得或，由，得， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 所以极大值为，极小值为，所以有3个零点，且无最小值. 故选：C 3．如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（       ） A．在上是增函数 B．当时，取得最小值 C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数 【解析】根据图象知： 当，时，函数单调递减； 当，时，函数单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确； 故当时，取得极小值，选项C不正确；当时，不是取得最小值，选项B不正确； 故选：D. 4．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】，， 当时，单调递减；当或时，单调递增， 在、处取得极值.， ，∴函数在处取得最小值， ∵函数在上存在最小值，∴，解得.故选：A. 5．函数有极小值，且极小值为0，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】由，可得， 因为有极小值，记为，则，即， 又由，所以， 即，所以.设， 当时，，所以在上单调递增， 当时，可得，所以的最小值为.故选：B. 6．函数在上的最大值为（       ） A． B． C．2 D． 【解析】由题意，， ∴当，x在和上，即单调增； 当，x在上，即单调减； ∴有极大值，有极小值，而端点值，，则，∴在上的最大值为.故选：D. 7．已知函数在内存在最小值，则（       ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 因为在上存在最小值，所以，解得.故选：C. 8．若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】首先时，不等式为，恒成立，即整数2是不等式的一个解，则由题意1或3是不等式的另一个整数解． 若1不是不等式的解，则，，此时不等式化为： ，易知函数在上是增函数，则大于2的所有整数都是原不等式的解，不合题意． 所以1是原不等式的解，大于3的所有整数不是原不等式的解，， 所以时，不等式恒成立，即在上恒成立， 设， 则，时，，，单调递增， 所以，所以．综上的取值范围是．故选：C． 9．已知函数，若是在上唯一的极值点，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】函数，定义域， 所以， 因为是在上唯一的极值点，所以是的唯一变号零点， 令，则在无变号零点，， ①时，恒成立，在上单调递增，所以， 所以无零点，满足题意； ②时，的解为，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最小值为， 要是在无变号零点，所以，解得，所以， 综上所述满足题目要求的的范围为.故选：D. 10．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】令，则，问题转化为恒成立. 令，则， 因为，所以.令，则， 所以在上单调递增，又，， 所以存在，使得，即，所以当时，，即， 当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，所以，， 所以，所以，解得.故选：C 二、多选题 11．已知函数，则下列结论正确的是（       ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数既存在极大值又存在极小值 C．若时，，则t的最小值为2 D．当时，方程有且只有两个实根 【解析】，令，解得或， 当或时，，故函数在，上单调递减，当时，，故函数在上单调递增，且函数有极小值，有极大值，当趋近负无穷大时，趋近正无穷大，当趋近正无穷大时，趋近于零，故作函数草图如下， 由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．故选：BD． 12．函数，其图象在坐标原点处与相切，则（       ） A． B．函数没有最小值 C．函数存在两个极值 D．函数存在两个零点 【解析】由题意可得，且，所以， 所以， ，令，则， 设，，两个函数只有一个交点， 设交点的横坐标为：，则， 当时，，函数是减函数，当时，，函数是增函数， 所以是函数极小值点，是函数最小值， 因为函数过，， 所以函数存在两个零点，故选：AD 13．设函数的导函数为，则（       ） A． B．是的极值点 C．存在零点 D．在单调递增 【解析】由题可知的定义域为， 对于A，，则，故A正确； 对于B、D