专题06 利用导数研究函数的最值-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题06 利用导数研究函数的最值 专项突破一 函数最值与极值关系 一、单选题 1．是定义在的函数，导函数在内的图象如图所示，则下列说法有误的是（       ） A．函数在一定存在最小值 B．函数在只有一个极小值点 C．函数在有两个极大值点 D．函数在可能没有零点 【解析】 由导函数的图像可知原函数的图像如图所示， 对于A：不确定端点及极小值的大小，同时端点值取不到，故不一定有最小值，A错误； 对于B：由图像可知只有一个极小值，B正确； 对于C：由图像可知有两个极大值，C正确； 对于D：函数图像极值大小不确定且可以上下平移，故在可能没有零点，D正确. 故选：A. 2．已知函数的导函数图像，如图所示，那么函数（       ） A．在上单调递增 B．在处取得极小值 C．在处切线斜率取得最大值 D．在处取得最大值 【解析】结合图像易知，当时，函数是减函数， 当时，函数取极小值，当时，函数是增函数， 当时，函数取极大值，不一定是最大值， 当时，函数是减函数，结合上述易知，A、B、D错误， 因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率， 所以由图像易知，在处切线斜率取得最大值，C正确，故选：C. 二、多选题 3．下列关于极值点的说法正确的是（       ） A．若函数既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B．在任意给定区间上必存在最小值 C．的最大值就是该函数的极大值 D．定义在上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点 【解析】A选项，例如，在处取得极小值，在处取得极大值，而，故极大值不一定大于极小值，A错误， C选项，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 根据极值的定义可知：在处取得极大值，也是最大值，C正确； 对于D，无极值点，有无数个极值点，D正确； 在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确； 故选：BCD． 4．下列说法正确的是（       ） A．极值点处的导数值为 B．极大值一定比极小值大 C．可导函数在闭区间内的最大值必在极值点或区间端点处取得 D．如果函数的定义域为，且在上递减，在上递增，则的最小值为 【解析】对于A，函数的极值点处未必可导，如是的极值点，但在处不可导，A错误； 对于B，函数的极大值和极小值可能有无数个，是由函数的单调性得到的，大小关系不确定，B错误； 对于C，可导函数在闭区间内连续，其最值必在极值点或区间端点处取得，则最大值也必在极值点或区间端点处，C正确； 对于D，由单调性可知，函数在区间内有唯一的极小值点，且根据单调性可知其为最小值点，即最小值为，D正确. 故选：CD. 5．（多选）下列结论中不正确的是（       ）. A．若函数在区间上有最大值，则这个最大值一定是函数在区间上的极大值 B．若函数在区间上有最小值，则这个最小值一定是函数在区间上的极小值 C．若函数在区间上有最值，则最值一定在或处取得 D．若函数在区间内连续，则在区间内必有最大值与最小值 【解析】若函数在区间上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A，B，C都不正确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确.故选：ABC. 专项突破二 求具体函数最值 一、单选题 1．在区间上的最大值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】，当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减；∴在区间上的最大值为．故选：B． 二、多选题 2．已知函数，则（       ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C． D．的极小值大于0 【解析】因为， 故，即， 故关于对称.故可设，即，为偶函数，则，画出与，考虑时的情况，易得两图象交点为与，当时，在上方，故， 当时，在下，故.故当时，单调递增， 当时，单调递减. 又，故为的图象往左平移个单位，故当时，单调递增，当时，单调递减.又关于对称，故当时，单调递增，当时，单调递减.故A正确，B错误； 又最大值，故C正确； 又极小值，故D正确 故选：ACD 三、填空题 3．函数的最大值为________． 【解析】， 所以在递增，在递减， 所以当时，取得最大值为. 4．函数在区间上的最小值为__________. 【解析】由， 得，当且仅当时取等号，即取等号， 因为，所以函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值0 5．，的最小值为___________． 【解析】令，则， 当时，单调增，， 当时，令，， 时，递减，时，递增，∴， 综上： 6．已知是奇函数，当时，，则当时，的最小值为________． 【解析】，，所以， 又因为是奇函数，所以， 所以当，，，令，所以， 则在上单调递减，在上单调递增，所以. 所以当时，的最小值为1. 四、解答题 7．已知函数． (1)求函数在处的切