专题02 利用导数求函数单调区间与单调性-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题02 利用导数求函数单调区间与单调性 专项突破一 利用导数判断或证明函数单调性 一、多选题 1．若函数f（x）的导函数在定义域内单调递增，则f（x）的解析式可以是（       ） A． B． C． D． 【解析】A：由，令， 因为，所以函数是实数集上的增函数，符合题意； B：由，因为一次函数是实数集上的增函数， 所以符合题意； C：由，因为函数是周期函数，所以函数不是实数集上的增函数，因此不符合题意； D：由，令， 则，当时，单调递减，因此不符合题意， 故选：AB 二、解答题 2．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若至少有两个零点，求a的取值范围． 【解析】(1)由， 在，上，在上， 所以在上递减，上递增，上递减. (2)由（1）知：极小值为，极大值为， 要使至少有两个零点，则，可得. 3．设函数. (1)若曲线在点处与直线相切，求a，b的值； (2)讨论函数的单调性. 【解析】(1)由题意知，，又 即 ，解得； (2)已知，令，知 当时，，此时函数在单调递增 当时，令或，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，令或，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 4．已知函数，．当时，求证：在上单调递增. 【解析】证明：当时，，， 则，又在上单调递增，且，且（1）， ，使得， 当时，，当,时，， 在上单调递减，在,上单调递增，， ，，，，在上单调递增. 5．已知函数，讨论的单调性； 【解析】因为， 所以， 当时，，，在上单调递增． 当时，，，若，则，单调递减，若， 则，单调递增． 当时，，若，则，单调递减，若 或，则，单调递增． 综上可得， 当时，在上单调递增； 当时在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增． 6．已知，设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】(1)，且， ①，，单调递增；②，，单调递减； ③，， 时，，单调递减，时，，单调递增； 综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增 (2)， 即，令， 则，令，可得， 当时，，则在单调递减， 则只需满足，∴，解得，∴； 当时，可得在单调递增，在单调递减， 则，整理可得， 令，则， ，，则可得在单调递增，在单调递减， 则，故时，恒成立， 综上，； 7．已知函数. (1)当a=2时,求曲线在点处的切线方程； (2)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【解析】（1）由题意，所以，当时，，， 所以，因此，曲线在点处的切线方程是， 即. （2）因为， 所以， 令，则，所以在上单调递增，因为， 所以，当时，；当时，. （1）当时，， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 所以当时取到极大值，极大值是， 当时取到极小值，极小值是. （2）当时，， 当时，，单调递增； 所以在上单调递增，无极大值也无极小值. （3）当时，， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 所以当时取到极大值，极大值是； 当时取到极小值，极小值是. 综上所述： 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是； 当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是. 专项突破二 利用导数求函数单调区间(不含参) 一、单选题 1．函数的单调减区间是（       ） A． B． C． D． 【解析】,由，得，所以的单调递减区间为.故选：B 2．函数的单调递减区间为（       ） A． B． C． D． 【解析】由题得函数的定义域为.， 令.所以函数的单调递减区间为.故选：A 3．已知函数的导函数为，，则函数的单调递增区间为（       ） A． B．， C． D． 【解析】由得，所以，， ，因为，所以由得，故选：C． 4．已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（       ） A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞) 【解析】由题设，则，可得， 而，则， 所以，即，则且递增， 当时，即递减，故递减区间为(-,0).故选：A 二、多选题 5．函数的一个单调递减区间是（       ） A．（e，+∞） B． C．（0，） D．（，1） 【解析】的定义域为，， 所以在区间上，递减，所以AD选项符合题意.故选：AD 三、填空题 6．函数的单调递增区间是______． 【解析】的定义域为， ，令，解得：或， 因为定义域为，所以单调递增区间为. 7．函数，的增区间为___________. 【解析】由已知得，， 令，即，解得，令，即，解得， 则的单调递增区间为，单调递减区间为，故