考向13 函数的零点及函数的应用（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向13 函数的零点及 函数的应用 【2022·北京·高考真题】若函数的一个零点为，则________；________． 【答案】     1     【解析】 【分析】 先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可． 【详解】 ∵，∴ ∴ 故答案为：1， 【2021·北京·高考真题】已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误． 【详解】 对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】 思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 1．判断函数y=f（x）在某个区间上是否存在零点，主要利用函数零点的存在性定理进行判断．首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，然后看是否有．若有，则函数在区间内必有零点． 2．判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法： （1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数； （2）根据函数的性质结合已知条件进行判断； （3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断． 3．已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． （2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决． （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解． 4．解决函数应用问题的步骤 （1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义． 判断函数零点个数的方法： （1）利用零点存在性定理判断法； （2）代数法：求方程的实数根； （3）几何法：对于不易求根的方程，将它与函数的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点． 三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根． 1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数经过点，且在上只有一个零点，则的最大值为（       ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为经过点， 所以，因为，所以， 即，令， 因为，所以， 因为在上只有一个零点， 所以有，所以的最大值为， 故选：C 2．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知实数是方程的一个解，是方程的一个解，则可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：依题意，， 即，，所以， 即或， 所以或； 故选：B 3．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））函数在区间上的所有零点之和为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：因为，令，即，当时显然不成立， 当时，作出和的图象，如图， 它们关于点对称， 由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为． 故选：C． 4．（2022·广东惠州·二模）函数的图像与函数的图像的交点个数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．0 【答案】C 【解析】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，， 作出函数的图像，如图