第三章 第2讲 导数与函数的单调性-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

第2讲　导数与函数的单调性 1．函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数． 2．由导数求单调区间的步骤 (1)求定义域． (2)求导数． (3)由导数大于0求单调递增区间，由导数小于0求单调递减区间． 1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 3．求函数单调区间的注意事项 (1)在函数定义域内讨论导数的符号． (2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”． 1．(2021·芜湖模拟)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 答案　D 解析　由题意知，f′(x)＝ex－e，令f′(x)>0，解得x>1.故选D. 2．函数f(x)＝sin x－2x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 答案　D 解析　∵f′(x)＝cos x－2<0，∴f(x)＝sin x－2x在(0，π)上单调递减，故选D. 3．(2022·郑州一中模拟)已知函数f(x)＝ln x－x＋，若a＝f(e)，b＝f(π)，c＝f(log230)，则(　　) A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 答案　A 解析　f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－1－＝－＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为log230＞log224＞π＞e，所以f(log230)＜f(π)＜f(e)，即c＜b＜a. 4．函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息： ①f′(x)>0时，－1<x<2； ②f′(x)<0时，x<－1或x>2； ③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2. 则函数f(x)的大致图象是(　　) 答案　C 解析　由题意可知函数f(x)在(－1，2)上单调递增，在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递减，故选C. 5．(2021·山西太原模拟)f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f′(x)，xf′(x)＞2f(x)，则下列不等式成立的是(　　) A．20212f(2022)＞20222f(2021) B．20212f(2022)＜20222f(2021) C．2021f(2022)＞2022f(2021) D．2021f(2022)＜2022f(2021) 答案　A 解析　令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝＝＞0，则g(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴＞，∴20212f(2022)＞20222f(2021). 6．(2022·广西柳州月考)设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 答案　(1，2] 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.由f′(x)＝x－<0，解得0<x<3.因为f(x)＝x2－9ln x在[a－1，a＋1]上单调递减，所以[a－1，a＋1](0，3]，所以解得1<a≤2. 考向一　利用导数求函数(不含参)的单调区间 例1　(1)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　) A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－1，0)∪(0，1) 答案　A 解析　f′(x)＝2x－＝(x>0)，令f′(x)<0，解得0<x<1.故选A. (2)设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． 答案　(－∞，－1)，(0，＋∞)　[－1，0] 解析　∵f(x)＝x(ex－1)－x2， ∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1). 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0. 当x∈[－1，0]时，f′(x)≤0. 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减． 　　当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间． 　1.当x>0时