第三章 第1讲 导数的概念及运算-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

第1讲　导数的概念及运算 1．导数的概念 (1)y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝ ＝ . (2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝lim． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 (1)c′＝0(c为常数)； (2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)； (3)(sin x)′＝cos x；(4)(cos x)′＝－sin x； (5)(ax)′＝ax ln a；(6)(ex)′＝ex； (7)(logax)′＝；(8)(ln x)′＝． 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 特别地：[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数). (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 5．两类切线问题的区别 (1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1500 m处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1500 m/s降为零.12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则(　　) A．v＝ m/s，a＝ m/s2 B．v＝－ m/s，a＝－ m/s2 C．v＝－ m/s，a＝ m/s2 D．v＝ m/s，a＝－ m/s2 答案　B 解析　探测器与月球表面距离逐渐减小，故v＝＝－ m/s，探测器的速度逐渐减小，故a＝＝－ m/s2，故选B. 2．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0 答案　C 解析　设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C. 3．(2022·河南信阳模拟)若曲线y＝ex＋ax＋b在点(0，2)处的切线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a＋b＝(　　) A．3 B．－1 C．1 D．－3 答案　A 解析　因为直线x＋3y＋1＝0的斜率为－，所以切线l的斜率为3，即y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲线过点(0，2)，所以e0＋b＝2，解得b＝1.所以a＋b＝3.故选A. 4．(2021·安徽安庆模拟)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 答案　B 解析　设直线l的方程为y＝kx－1，直线l与f(x)的图象相切于点(x0，y0)，则解得∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 5．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝ ． 答案　1 解析　f′