高考大题专题研究一 利用导数研究函数的零点问题-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

专题研究(三)　利用导数研究函数的零点问题 题型一　判断函数零点或方程的根个数问题 例1　已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828…. (1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由． 解　(1)证明：由题意可得 h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x， 所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－>0， 所以h(1)·h(2)<0， 所以函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点． (2)由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x，x∈[0，＋∞)， 而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点． 又h(x)在(1，2)内有零点， 因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点． h′(x)＝ex－x－－1，记φ(x)＝ex－x－－1， 则φ′(x)＝ex＋x－． 当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点， 即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点， 则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点， 所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2. [解题策略]　利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的大致图象，数形结合求解函数零点的个数． (2)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上的零点个数． 变式训练1　(2022·陕西咸阳检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R. (1)证明：ln x≤x－1； (2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数． 解　(1)证明：令g(x)＝ln x－x＋1(x>0)， 则g(1)＝0，g′(x)＝－1＝， 可得x∈(0，1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增； x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减． ∴当x＝1时，函数g(x)取得极大值也是最大值， ∴g(x)≤g(1)＝0，即ln x≤x－1. (2)f′(x)＝－2x＋a＝，x>0. 令－2x＋ax0＋1＝0，解得x0＝(负值舍去)， 在(0，x0)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 在(x0，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减． ∴f(x)max＝f(x0). 当a＝1时，x0＝1，f(x)max＝f(1)＝0， 此时函数f(x)只有一个零点x＝1. 当a>1时，f(1)＝a－1>0， f＝ln －＋<－1－＋ ＝－－<0， f(2a)＝ln 2a－2a2<2a－1－2a2 ＝－2－<0. ∴函数f(x)在区间和区间(1，2a)上各有一个零点. 综上可得，当a＝1时，函数f(x)只有一个零点x＝1； 当a>1时，函数f(x)有两个零点． 题型二　由函数零点个数求解参数取值范围问题例2　(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2). (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1. 令f′(x)＜0，解得x＜0； 令f′(x)＞0，解得x＞0. 所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞). (2)解法一：当a≤0时，f′(x)＝ex－a>0恒成立，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a， 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)的极小值也是最小值为f(ln a)＝a－a(ln a＋2)＝－a(1＋ln a). 又当x→－∞时，f(x)→＋∞， 当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 所以要使f(x)有两个零点，只要f(ln a)<0即可，则1＋ln a>0，可得a>. 综上，若f(x)有两个零点，则a的取值范围是. 解法二：若f(x)有两个零点，即ex－a(x＋2)＝0有两个解， 显然x＝－2不成立，所以a＝(x≠－2)有两个解， 令h(x)＝(x≠－2)， 则有h′(x)＝＝， 令h′(x)＞0，解得x＞－1， 令h′(x)＜0，解得x＜－2或－2＜x＜－1， 所以函数h(x)在(－∞，－2)和(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增， 且当x＜－