高考大题专题研究一 利用导数研究不等式的证明问题-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

命题动向：通过近五年的高考试题分析，导数与不等式、函数的零点相结合的综合问题既是考查的热点又是重点．此类问题综合性较强，融函数、导数、不等式等高中数学主干知识为一体，能有效考查综合解题能力．涉及的数学思想有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等，难度较大． 专题研究(一)　利用导数研究不等式的证明问题 题型一　单变量不等式的证明 例1　(2021·广东深圳调研)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直． (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 解　(1)因为f(x)＝1－， 所以f′(x)＝，f′(1)＝－1. 因为g(x)＝＋－bx， 所以g′(x)＝－－－b. 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直， 所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1. 从而g(1)＝a＋1－b＝1，且g′(1)＝－a－b－1＝1. 解得a＝b＝－1. (2)证明：由(1)知，g(x)＝－＋＋x， 则f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0. 令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)， 则h(1)＝0， h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1. 因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1>0， 所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)≥h(1)＝0，即1－－－＋x≥0. 故当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. [解题策略]　单变量不等式的证明方法 (1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x). (2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． (3)最值法：欲证f(x)<g(x)，有时可以证明f(x)max<g(x)min. 变式训练1　(2022·陕西汉中检测)已知函数f(x)＝ax2－x ln x. (1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若a＝e，证明：当x>0时，f(x)<xex＋. 解　(1)由题意知，f′(x)＝2ax－ln x－1. 因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x>0时，f′(x)≥0， 即当x>0时，2a≥恒成立． 令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝－， 易知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 则g(x)max＝g(1)＝1，所以2a≥1，即a≥. 故实数a的取值范围是. (2)证明：若a＝e，要证f(x)<xex＋， 只需证ex－ln x<ex＋，即ex－ex<ln x＋. 令h(x)＝ln x＋(x>0)，则h′(x)＝， 易知h(x)在上单调递减，在上单调递增， 则h(x)min＝h＝0，所以ln x＋≥0. 再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex， 易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0. 因为h(x)与φ(x)不同时为0， 所以ex－ex<ln x＋，故原不等式成立． 题型二　双变量不等式的证明 例2　已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2).求证：x1x2>e2. 证明　不妨设x1>x2>0， 因为ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0， 所以ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)， ln x1－ln x2＝a(x1－x2)， 所以＝a，欲证x1x2>e2， 即证ln x1＋ln x2>2. 因为ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，所以即证a>， 所以原问题等价于证明>，即ln >， 令c＝(c>1)，则不等式变为ln c>. 令h(c)＝ln c－，c>1， 所以h′(c)＝－＝>0， 所以h(c)在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(c)>h(1)＝ln 1－0＝0， 即ln c－>0(c>1)， 因此原不等式x1x2>e2得证． [解题策略]　换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a，再结合所证问题，巧妙引入变量c＝，从而构造相应的函数．其解题要点如下： 联立消参 利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的参数a 抓商构元 令c＝，消掉变量x1，x2，构造关于c的函数h(c) 用导求解 利用导数求解函数h(c)的最小值，从而可证得结论 变式训练2　(2022·四川广元诊断考试)已知函数f(x)＝x ln x－2x. (1)求f(x)的单调