第三章 第4讲 定积分与微积分基本定理-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

第4讲　定积分与微积分基本定理 1．定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝ f(ξi).这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． 2．定积分的性质 (1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)； (2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±； (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b). 3．微积分基本定理 如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． 为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|，即＝＝F(b)－F(a). 1．定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx. (2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(ex＋2x)dx等于(　　) A．1 B．e－1 C．e D．e＋1 答案　C 解析　(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝e，故选C. 2．若dx＝3＋ln 2(a＞1)，则a的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　A 解析　由题意可知dx＝(x2＋ln x)|＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，解得a＝2. 3．(2021·云南昭通模拟) (1＋cos x)dx等于(　　) A．π B．2 C．π－2 D．π＋2 答案　D 解析　 4．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　∵S阴影＝(－x)dx＝|＝，正方形的面积为1，∴所求概率为. 5．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于(　　) A． B．2 C． D． 答案　C 解析　由已知得l：y＝1，解方程组得交点坐标为(－2，1)，(2，1).如图阴影部分，由于l与C围成的图形关于y轴对称，所以所求面积S＝2dx＝2|＝2×＝. 6．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为 ． 答案　 解析　f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3|＋ln x|＝＋1＝. 考向一　定积分的计算 例1　计算下列定积分： (1)(3x2－2x＋1)dx；(2)dx； (3)|1－x|dx；(4)dx. 解　(1)(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|＝24. (2)因为(ln x)′＝，所以dx＝2dx＝2ln x|＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2. (3)若1－x≥0，则x≤1，若1－x＜0，则x＞1， 于是|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx＝|＋|＝1. (4)根据定积分的几何意义， 可知dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的，故dx＝. 　　求定积分时应注意的几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分． (2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分． (4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错． (5)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (6)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0. (7)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 　1.计算下列定积分： (1)dx；(2)cos3xdx； (3)dx. 解　(1)令y＝，∴x2＋y2＝1，y≥0. ∴dx的几何意义为个圆的面积． ∴dx＝. (2)∵(sin x)′＝cos x， ∴cos3xdx＝sin 3x|＝(sin 3π－sin 0)＝0. (3)∵(x2)′＝2x，′＝－， ∴dx＝2xdx＋dx＝x2|＋|＝. 精