第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

第3讲　函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x 图象特点 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于原点对称 关于y轴对称 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．函数奇偶性的六个常用结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． (6)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0). 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称． 1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 答案　B 解析　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，即a＋b＝. 2．(2021·银川模拟)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　) A．y＝－ B．y＝log2|x| C．y＝1－x2 D．y＝x3－1 答案　C 解析　函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A，D的函数不是偶函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求． 3．函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f(1)＜f＜f B．f＜f(1)＜f C．f＜f＜f(1) D．f＜f(1)＜f 答案　B 解析　∵函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x)在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(1)＝f(3)，f＜f(3)＜f，即f＜f(1)＜f. 4．(2022·河南许昌摸底)已知f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)＋g(x)是偶函数 B．f(x)＋g(x)是奇函数 C．f(x)g(x)是奇函数 D．f(x)g(x)是偶函数 答案　A 解析　令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝，g(x)＝，所以h(x)＝＋＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为h(－x)＝＝＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．令F(x)＝f(x)g(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).所以F(－x)＝＝.因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数． 5．(2020·江苏高考)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x，则f(－8)的值是 ． 答案　－4 解析　f(8)＝8＝4，因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－4. 6．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝ ． 答案　 解析　由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin ＝. 考向一　函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x lg (x＋)； (2)f(