第二章 第9讲 函数模型及其应用-【金版教程】2023高考理科数学一轮复习解决方案word（老教材，经典版）

第9讲　函数模型及其应用 1．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 介于指数增长和对数增长之间 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝时取最小值2， 当x＜0时，x＝－时取最大值－2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private－Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密).现在加密密钥为y＝kx3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“”，解密后得到的明文是(　　) A． B． C．2 D． 答案　A 解析　由已知，可得当x＝4时，y＝2，所以2＝k·43，解得k＝＝，故y＝x3.令y＝x3＝，即x3＝，解得x＝.故选A. 2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 答案　D 解析　根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D. 3.(2022·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 答案　B 解析　水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B. 4．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( ≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 答案　C 解析　将L＝4.9代入L＝5＋lg V，得lg V＝－0.1＝－，所以V＝10＝≈≈0.8，故选C. 5．(2020·全国Ⅲ卷)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(参考数据：ln 19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 答案　C 解析　因为I(t)＝，所以I(t*)＝＝0.95K，则e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈＋53≈66.故选C. 6．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么，精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为 (用常数a表示). 答案　a2 解析　令t＝(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－＋a2.∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值． 考